3.3.H

3.3.H

Die Durchmesser \(D\) und \(d\) der Münzen sind gegeben.
Die 2-Euro-Münze ist auf einer Ebene unbeweglich festgemacht.
Die 1-Euro-Münze wird rechts neben der 2-Euro-Münze platziert.
In einem Zyklus rollt die 1-Euro-Münze außen auf der 2-Euro-Münze ab, bis sie wieder am Startpunkt angekommen ist.
In diesem Zyklus überstreicht das grüne Teilchen die grüne Bahn der Länge \(\pi (D + d)\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 15{,}4\,\mathrm{cm}.\)

Wie oft dreht sich die 1-Euro-Münze in diesem Zyklus?

Lösung

Wenn die äußere Münze auf der inneren Münze gleiten statt rollen würde, und wenn dabei der blaue Radius-Vektor immer in dieselbe Richtung zeigen würde wie der rote Vektor: Dann würde sich die Münze in einem Zyklus genau einmal drehen.

Die Länge der Gleitstrecke \(s\) wäre gleich dem Umfang der inneren Münze:

\begin{align} s = \pi D \tag{1} \end{align}
Um zu rollen muss die äußere Münze sich zusätzlich (im Uhrzeigersinn) drehen um einen Winkel \(\varphi\).
Und eine Drehung der äußeren Münze um den Winkel \(\varphi\) bewegt ein Teilchen auf seinem Umfang um die Strecke:

\begin{align} s = \varphi \tfrac d 2 \tag{2} \end{align}
Gleichsetzen von (1) und (2) liefert:

\[\varphi = 2 \pi \tfrac D d\]
Dieser Winkel entspricht \(\tfrac D d\) Drehungen.

Insgesamt dreht sich die Münze also \(1 + \tfrac D d \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 2{,}108\) mal.