Stab-Kinematik und -Elastizität

Bemerkung

Beispiel-Aufgabe: 2.1.A

Kinematik 2D

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Berechnung der tatsächlichen Verlängerung \(\Delta \ell\) und der genäherten Verlängerung \(\Delta l\).

Stab-Deformation: Kinematik

  • \((x,y)\): Bezugssystem.

  • \(\boldsymbol r\) bzw. \(\boldsymbol r'\): Vektor entlang undeformiertem Stab (blau) bzw. entlang deformiertem Stab (rot).

  • \(\boldsymbol e\): Einheitsvektor entlang \(\boldsymbol r\) mit Winkelposition \(\varphi\):

    \[\begin{split}\boldsymbol e &= \tfrac{\boldsymbol r}{\lVert \boldsymbol r \rVert} \\ \begin{bmatrix} e_x \\ e_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\varphi \\ s_\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

  • \(\boldsymbol u_1\) bzw. \(\boldsymbol u_2\): Verschiebung(svektor) des Stab-Anfangs und des Stab-Endes.

  • \(\boldsymbol d\): Relativverschiebung:

    \[\begin{split}\boldsymbol d &= \boldsymbol u_2 - \boldsymbol u_1 \\ &= \boldsymbol r' - \boldsymbol r\end{split}\]

  • \(\Delta \ell\): Tatsächliche Stabverlängerung:

    \begin{align*} \Delta \ell &= \lVert\boldsymbol r'\rVert-\lVert\boldsymbol r\rVert\\ &= \lVert \boldsymbol r + \boldsymbol d \rVert - \lVert \boldsymbol r \rVert \end{align*}

Details

\begin{align*} \Delta \ell &= \sqrt{(r_x + d_x)^2 + (r_y + d_y)^2} - \sqrt{r_x^2 + r_y^2}\\ &= \sqrt{r_x^2 + 2 r_x d_x + d_x^2 + r_y^2 + 2 r_y d_y + d_y^2} - \sqrt{r_x^2 + r_y^2} \end{align*}

  • \(\Delta l\): Genäherte Stabverlängerung:

    \[\begin{split}\Delta l &= \boldsymbol e\cdot \boldsymbol d \\ &= \boldsymbol e\cdot \left( \boldsymbol u_2 - \boldsymbol u_1 \right) \\ &= \boldsymbol e\cdot \left( \boldsymbol r' - \boldsymbol r \right)\end{split}\]

Details

Die genäherte Verlängerung \(\Delta l\) des Stabs, welche in der linearen Elastostatik verwendet wird, ist die Linearisierung der Funktion \(\Delta \ell (d_x, d_y)\) bei \((d_x,d_y)=(0,0)\):

\begin{align*} \Delta l &=0 + \tfrac{\partial \Delta \ell}{\partial d_x}|_{(0,0)} d_x + \tfrac{\partial \Delta \ell}{\partial d_y}_{(0,0)} d_y \\ &= 0 + \tfrac{r_x}{l}d_x +\tfrac{r_y}{l}d_y \\ &= \tfrac{1}{l} \boldsymbol r \cdot \boldsymbol d \\ &= \boldsymbol e \cdot \boldsymbol d \end{align*}

  • Diese Näherung ist eine gute Näherung für kleine Deformationen. Und von kleinen Deformationen spricht man, wenn der Vektor \(\boldsymbol d\) betragsmäßig klein ist im Vergleich zur Länge \(l\) des undeformierten Stabs, wenn also gilt:

    \[\lVert \boldsymbol d \rVert \ll l\]

  • Diese Näherung wird verwendet, so dass beim Thema Stab-Elastizität die Unbekannten aus einem Linearen Gleichungssystem berechnet werden können - und weil die Annahme kleine Deformationen in der Praxis oft gerechtfertigt ist.

  • Diese Näherung darf nicht verwendet werden, wenn die Voraussetzung „kleine Deformationen“ nicht erfüllt ist.

  • Der Stab ist homogen, und der Querschnitt an jeder Stelle des Stabs gleich, so dass alle Teilchen des Stabs dieselbe Verzerrung erleiden.

Elastizität

Die zuvor berechnete genäherte Stabverlängerung lässt sich in das Hookesche Gesetz einsetzen.

Hookesches Gesetz Stab

  • \(l, \Delta l\): Länge im undeformierten Zustand und genäherte Verlängerung

  • \(E, A\): E-Modul und Querschnittsfläche

  • \(\epsilon = \alpha \Delta T\): Wärmedehnung = Ausdehnungskoeffizient mal Temperaturzuwachs

  • \(S\): Stab-Zugkraft

Hookesches Gesetz für Stab:

\[\tfrac{\Delta l}{l} - \epsilon = \tfrac{S}{EA} \quad \Leftrightarrow \quad S = EA \left(\tfrac{\Delta l}{l} - \epsilon \right)\]

  • Gleichung links: Die elastische Verzerrung (nämlich die Differenz aus Gesamt-Verzerrung und Wärmedehnung (Verzerrung aufgrund Temperaturzuwachs) ist proportional zur Stabkraft und umgekehrt proportional zum E-Modul und zur Querschnittsfläche.

  • Gleichung rechts: Die Stabkraft ist proportional zum E-Modul und zur Querschnittsfläche. Und sie ist proportional zur elastischen Verzerrung.

  • Ein Vergleich mit einen linearen Feder mit Federsteifigkeit \(c\) und Zugkraft \(F\) und Verlängerung \(\Delta l\) liefert:

    1. Feder: \(F = c \Delta l\).

    2. Stab (ohne Wärmedehnung): \(S = \tfrac{EA}{l} \Delta l\)

    Die Federsteifigkeit eines Stabs ist also gleich \(\tfrac{EA}{l}\) und damit umgekehrt proportional zu seiner Länge. In Reihe geschaltete Federn sind weniger steif. Wenn man für eine Verlängerung von 1 Zentimeter bei einem 5 Zentimeter langen Gummiband eine Zugkraft von 10 Newton braucht: Dann braucht man für dieselbe Verlängerung bei einem 50 Zentimeter langen Gummiband nur 1 Newton Zugkraft.

Anwendung Kinematik 2D

Einsetzen der in Kinematik 2D berechneten (genäherten) Verlängerung \(\Delta l\) liefert:

\[\begin{split}S = \tfrac{EA}{l} \boldsymbol e \cdot \boldsymbol d - EA \epsilon \\\end{split}\]

Dasselbe dargestellt mit Komponenten:

\[\begin{split}S &= \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d_x \\ d_y \end{bmatrix} - EA \epsilon \\ &= \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \right\} - EA \epsilon \\ &= \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} r'_{x} \\ r'_{y} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \end{bmatrix} \right\} - EA \epsilon\end{split}\]