Herleitung klassisch

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Voraussetzungen

  • \(q\): Konstante verteilte Kraft.

  • \(B=EI\): Konstante Biegesteifigkeit.

  • Einzellasten nur an den Knoten.

  • \(M\) und \(Q\): Schnittgrößen.

  • \(w\): Querverschiebung.

  • \(\psi=-w'\): Genäherter Neigungswinkel.

Bezeichnungen

  • \((C_1, C_2, C_3, C_4)\): Integrationskonstanten.

  • \((M_1, F_1, M_2, F_2)\): Knotenlasten.

  • \((\psi_1, w_1, \psi_2, w_2, q)\): Freiheitsgrade.

Knotenlasten (Konstanten)

Der Zusammenhang zwischen den Knotenlasten und den Konstanten wird mit den Randbedingungen ermittelt. Dazu werden infinitesimal schmale Balkenstreifen freigeschnitten.

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Konstanten (Freiheitsgrade)

Fünf Lastfälle werden definiert. In jedem Lastfall ist genau ein Freiheitsgrad „aktiv“. Davon abhängig ergeben sich die Integrationskonstanten abhängig von den Freiheitsgraden:

Lastfall

1

2

3

4

5

\(\psi(0)=\)

\(\psi_1\)

\(0\)

\(0\)

\(0\)

\(0\)

\(w(0)=\)

\(0\)

\(w_1\)

\(0\)

\(0\)

\(0\)

\(\psi(l)=\)

\(0\)

\(0\)

\(\psi_2\)

\(0\)

\(0\)

\(w(l)=\)

\(0\)

\(0\)

\(0\)

\(w_2\)

\(0\)

\(q=\)

\(0\)

\(0\)

\(0\)

\(0\)

\(q\)

\(\phantom{X}\)

\(C_1=\)

\(- \tfrac{6 B}{l^{2}}\)

\(\tfrac{12 B}{l^{3}}\)

\(- \tfrac{6 B}{l^{2}}\)

\(- \tfrac{12 B}{l^{3}}\)

\(-\tfrac12 l\)

\(C_2=\)

\(\tfrac{4 B}{l}\)

\(- \tfrac{6 B}{l^{2}}\)

\(\tfrac{2 B}{l}\)

\(\tfrac{6 B}{l^{2}}\)

\(\tfrac{1}{12}l^2\)

\(C_3=\)

\(- B\)

\(0\)

\(0\)

\(0\)

\(0\)

\(C_4=\)

\(0\)

\(B\)

\(0\)

\(0\)

\(0\)

Details

Lastfall 1 ist definiert über:

\[\begin{split}\psi(0) &= 1\cdot \psi_1 \\ w(0) &= 0\cdot \psi_1 \\ \ldots &= \ldots\end{split}\]

Lastfall 2 entsprechend:

\[\begin{split}\psi(0) &= 0\cdot \psi_1 \\ w(0) &= 1\cdot w_1 \\ \ldots &= \ldots\end{split}\]

Für Lastfall 1 berechnet man:

\[\begin{split}C_1 &= - \tfrac{6 B}{l^{2}}\cdot \psi_1 \\ C_2 &= \tfrac{4 B}{l}\cdot \psi_1 \\ \ldots &= \ldots\end{split}\]

Für Lastfall 2 entsprechend:

\[\begin{split}C_1 &= 0 \cdot w_1 \\ C_2 &= \tfrac{12 B}{l^{3}}\cdot w_1 \\ \ldots &= \ldots\end{split}\]

Berechnung von \(C_1, C_2, C_3, C_4\) für Lastfall 1 mit:

\begin{align} \psi(0) &= \psi_1 \tag{a}\\ w(0) &= 0 \tag{b}\\ \psi(l) &= 0 \tag{c}\\ w(l) &= 0 \tag{d} \\ q &= 0 \end{align}

(1), (2) sind Gleichungen für \(\psi\) und \(w\). Auswerten dieser Gleichungen bei \(x=0\) und \(x=l\) liefert mit \(q(x)=0\):

\begin{align} - B \psi(0) &= C_3 \tag{1a} \\ B w(0) &= C_4 \tag{2b}\\ - B \psi(l) &= \tfrac12 C_1 l^2 + C_2 l + C_3 \tag{1c} \\ B w (l)&= \tfrac16 C_1 l^3 + \tfrac 12 C_2 l^2 + C_3 l + C_4 \tag{2d} \end{align}

(a,b,c,d) eingesetzt in (1a,2b,1c,2d) liefert:

\[\begin{split}- B \psi_1 &= C_3 \\ 0 &= C_4 \\\ 0 &= \tfrac12 C_1 l^2 + C_2 l + C_3 \\ 0 &= \tfrac16 C_1 l^3 + \tfrac 12 C_2 l^2 + C_3 l + C_4\end{split}\]

Dies ist ein lineares Gleichungssystem. Und daraus lassen sich die Konstanten für den ersten Lastfall berechnen.

Knotenlasten (Freiheitsgrade)

Die Informationen aus den letzten beiden Abschnitten werden zusammengeführt:

Hier in diesem Abschnitt sind die Knotenlasten abhängig von den Freiheitsgraden dargestellt.

\(\psi_1\)

\(w_1\)

\(\psi_2\)

\(w_2\)

\(q\)

\(M_1\)

\(\tfrac{4 B}{l}\)

\(- \tfrac{6 B}{l^{2}}\)

\(\tfrac{2 B}{l}\)

\(\tfrac{6 B}{l^{2}}\)

\(\tfrac{1}{12} l^2\)

\(F_1\)

\(- \tfrac{6 B}{l^{2}}\)

\(\tfrac{12 B}{l^{3}}\)

\(- \tfrac{6 B}{l^{2}}\)

\(- \tfrac{12 B}{l^{3}}\)

\(- \tfrac12 l\)

\(M_2\)

\(\tfrac{2 B}{l}\)

\(- \tfrac{6 B}{l^{2}}\)

\(\tfrac{4 B}{l}\)

\(\tfrac{6 B}{l^{2}}\)

\(-\tfrac{1}{12} l^2\)

\(F_2\)

\(\tfrac{6 B}{l^{2}}\)

\(- \tfrac{12 B}{l^{3}}\)

\(\tfrac{6 B}{l^{2}}\)

\(\tfrac{12 B}{l^{3}}\)

\(-\tfrac12 l\)

Proportionalität:

\[\begin{split}M_1 &= \tfrac{4 B}{l}\psi_1 - \tfrac{6 B}{l^{2}} w_1 + \ldots \\ F_1 &= - \tfrac{6 B}{l^{2}} \psi_1 +\ldots \\ M_2 &= \ldots \\ F_2 &= \ldots\end{split}\]

Dasselbe mit Matrizen:

\begin{align} \begin{bmatrix} M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{4 B}{l} & -\tfrac{6 B}{l^{2}} & \tfrac{2 B}{l} & \tfrac{6 B}{l^{2}} & \tfrac{1}{12} l^2 \\ - \tfrac{6 B}{l^{2}} & \tfrac{12 B}{l^{3}} & - \tfrac{6 B}{l^{2}} & - \tfrac{12 B}{l^{3}} & - \tfrac12 l \\ \tfrac{2 B}{l} & - \tfrac{6 B}{l^{2}} & \tfrac{4 B}{l} & \tfrac{6 B}{l^{2}} & -\tfrac{1}{12} l^2 \\ \tfrac{6 B}{l^{2}} & - \tfrac{12 B}{l^{3}} & \tfrac{12 B}{l^{3}} & \tfrac{12 B}{l^{3}} & -\tfrac12 l \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1\\ w_1\\ \psi_2\\ w_2 \\ q \\ \end{bmatrix} \tag{3} \end{align}

Details

Dieses Gleichungssystem lässt sich anschaulich interpretieren:

  • Wenn z.B. ein bestimmter Neigungswinkel \(\psi_1\) eingestellt wird und wenn gleichzeitig die anderen Freiheitsgrade alle Null sind (\(w_1 = \psi_2 = w_2 = = 0\)): dann gilt:

\begin{align} \begin{bmatrix} M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{4 B}{l} \\ - \tfrac{6 B}{l^{2}} \\ \tfrac{2 B}{l} \\ \tfrac{6 B}{l^{2}} \\ \end{bmatrix} \psi_1 \end{align}
  • Wenn z.B. eine bestimmte Querverschiebung \(w_1\) einstellt wird und wenn gleichzeitig die anderen Freiheitsgrade alle Null sind (\(\psi_1 = \psi_2 = w_2 q = 0\)): dann gilt:

\begin{align} \begin{bmatrix} M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -\tfrac{6 B}{l^{2}} \\ \tfrac{12 B}{l^{3}} \\ - \tfrac{6 B}{l^{2}} \\ - \tfrac{12 B}{l^{3}}\\ \end{bmatrix} w_1 \end{align}

Die Knotenlasten sind also proportional zu den Freiheitsgraden. Der Zusammenhang zwischen Freiheitsgraden und Knotenlasten ist linear.

Steifigkeitsmatrix und Lineares System

Gleichung (3) anders notiert und mit \(EI=B\) liefert:

../../../../_images/beam-fem.png

Details

Gleichung (3) lässt sich notieren als:

\begin{align} \begin{bmatrix} \tfrac{4 B}{l} & -\tfrac{6 B}{l^{2}} & \tfrac{2 B}{l} & \tfrac{6 B}{l^{2}} \\ - \tfrac{6 B}{l^{2}} & \tfrac{12 B}{l^{3}} & - \tfrac{6 B}{l^{2}} & - \tfrac{12 B}{l^{3}} \\ \tfrac{2 B}{l} & - \tfrac{6 B}{l^{2}} & \tfrac{4 B}{l} & \tfrac{6 B}{l^{2}} \\ \tfrac{6 B}{l^{2}} & - \tfrac{12 B}{l^{3}} & \tfrac{12 B}{l^{3}} & \tfrac{12 B}{l^{3}} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1\\ w_1\\ \psi_2\\ w_2 \\ \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} \tfrac{1}{12} l^2 \\ - \tfrac12 l \\ -\tfrac{1}{12} l^2 \\ -\tfrac12 l \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ \end{bmatrix} \tag{3'} \end{align}

Oder nochmals anders notiert:

\begin{align} \tfrac{B}{l^3} \begin{bmatrix} 4 l^2 & -6 l & 2 l^2 & 6 l \\ -6 l & 12 & -6 l & -12 \\ 2 l^2 & -6 l & 4 l^2 & 6 l \\ 6 l & -12 & 6 l & 12 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1\\ w_1\\ \psi_2\\ w_2 \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} - \tfrac{1}{12} l^2 \\ \tfrac12 l \\ \tfrac{1}{12} l^2 \\ \tfrac12 l \\ \end{bmatrix} \tag{3''} \end{align}

Querverschiebung

Zu jedem Lastfall wurden die zugehörigen Integrationskonstanten berechnet. Einsetzen dieser Integrationskonstanten in (2) liefert die Gesamt-Querverschiebung als Überlagerung (Superposition) der Querverschiebungen der fünf Lastfälle:

\[w = w_{\psi_1} + w_{w_1} + w_{\psi_2} + w_{w_2} + w_q\]

mit:

\[\begin{split}w_{\psi_1} &= \underbrace{ \left( - \xi^{3} + 2 \xi^{2} - \xi \right)}_{N_1} l \psi_1 \\ w_{w_1} &= \underbrace{ \left( 2 \xi^{3} - 3 \xi^{2} + 1 \right)}_{N_2} w_1 \\ w_{\psi_2} &= \underbrace{ \left( - \xi^{3} + \xi^{2} \right)}_{N_3}l \psi_2 \\ w_{w_2} &= \underbrace{ \left( - 2 \xi^{3} + 3 \xi^{2} \right)}_{N_4} w_2 \\ w_q &= \underbrace{ \left( \tfrac{\xi^{4}}{24} - \tfrac{\xi^{3}}{12} + \tfrac{\xi^{2}}{24} \right)}_{N_5} \tfrac{l^4}{B}q\end{split}\]

Mit Matrix-Schreibweise notiert ist das:

\[\begin{split}w = \begin{bmatrix} \psi_1 & w_1 & \psi_2 & w_2 & q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l N_1 \\ N_2 \\ l N_3 \\ N_4 \\ \tfrac{l^4}{B} N_5 \end{bmatrix}\end{split}\]

mit \(\xi=\tfrac x l\). Die Funktionen \(N_1\) bis \(N_5\) sind Interpolationsfunktionen. Und diese Interpolationsfunktionen werden im Postprocessing verwendet zur Berechnung der Querverschiebungen zwischen den Knoten, siehe Querverschiebung w.