Herleitung mit Prinzip der virtuellen Leistung
Bezeichnungen
Abkürzung Biegesteifigkeit:
\[B=EI\]Umrechnung:
\[\begin{split}x &= l \xi \\ \mathsf{d}x &= l\, \mathsf{d}\xi \\ \tfrac{\mathsf{d}}{\mathsf{d}x} &= \tfrac 1 l \tfrac{\mathsf{d}}{\mathsf{d}\xi} \\ \tfrac{\mathsf{d}^2}{\mathsf{d}x^2} &= \tfrac{1}{l^2} \tfrac{\mathsf{d}^2}{\mathsf{d}\xi^2} \\\end{split}\]Ableitung nach \(x\) und \(\xi\):
\[\begin{split}\tfrac{\mathsf{d}N_1}{\mathsf{d}x} &= N_1' \\ \tfrac{\mathsf{d}^2 N_1}{\mathsf{d}x^2} &= N_1'' \\ \tfrac{\mathsf{d}N_1}{\mathsf{d}\xi} &= N_{1'} \\ \tfrac{\mathsf{d}^2 N_1}{\mathsf{d}\xi^2} &= N_{1''} \\\end{split}\]\(\delta v\): Virtuelle Geschwindigkeit mit Einheit \(\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\)
\(\delta \omega\): Virtuelle Winkelgeschwindigkeit mit Einheit \(\tfrac{1}{\mathrm s}\)
\(\delta \omega ' = \tfrac{\partial}{\partial \bar x} \delta \omega\): Zuwachs der virtuellen Winkelgeschwindigkeit entlang der Position \(\bar x\) im Balken mit Einheit \(\tfrac{1}{\mathrm{m\cdot s}}\)
Interpolation
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
w \\ \delta v \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\psi_1 & w_1 & \psi_2 & w_2 & q \\
\delta \omega_1 & \delta v_1 & \delta \omega_2 & \delta v_2 & \delta q \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
l N_1 \\ N_2 \\ l N_3 \\ N_4 \\ \tfrac{l^4}{B} N_5 \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
\psi \\ \delta \omega \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\psi_1 & w_1 & \psi_2 & w_2 & q \\
\delta \omega_1 & \delta v_1 & \delta \omega_2 & \delta v_2 & \delta q \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
- l N_1' \\ - N_2' \\ - l N_3' \\ - N_4' \\ - \tfrac{l^4}{B} N_5' \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
\[\begin{split}w''
&=
\begin{bmatrix}
\psi_1 & w_1 & \psi_2 & w_2 & q \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
l N_1'' \\ N_2'' \\ l N_3'' \\ N_4'' \\ \tfrac{l^4}{B} N_5'' \\
\end{bmatrix}
\\
\delta \omega'
&=
\begin{bmatrix}
\delta \omega_1 & \delta v_1 & \delta \omega_2 & \delta v_2 & \delta q \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-l N_1'' \\ -N_2'' \\ -l N_3'' \\ -N_4'' \\ -\tfrac{l^4}{B} N_5'' \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
\[\begin{split}M &= - B w''
\\
&=
- B
\begin{bmatrix}
\psi_1 & w_1 & \psi_2 & w_2 & q
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
l N_1'' \\
N_2'' \\
l N_3'' \\
N_4'' \\
\tfrac{l^4}{B} N_5'' \\
\end{bmatrix}
\\
&=
- B
\begin{bmatrix}
l N_1'' & N_2'' & l N_3'' & N_4'' & \tfrac{l^4}{B} N_5''
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2 \\ q
\end{bmatrix}\end{split}\]
Virtuelle innere Leistung
\[\begin{split}\delta P_i
&= \int_{x=0}^l M \delta \omega' \mathsf{d}x \\
&= l \int_{\xi=0}^1 \delta \omega' M \mathsf{d}\xi \\\end{split}\]
Integrand
\[\begin{split}\delta \omega' M
&=
\begin{bmatrix}
\delta \omega_1 \! & \! \delta v_1\! & \! \delta \omega_2 \! & \! \delta v_2 \! & \! \delta q \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\! - l N_1'' \! \\ \! - N_2'' \! \\ \! - l N_3'' \! \\ \! - N_4'' \! \\ \! - \tfrac{l^4}{B} N_5''\! \\
\end{bmatrix}
(-B)
\begin{bmatrix}
l N_1'' \! & \! N_2''\! & \! l N_3''\! & \! N_4'' \! & \! \tfrac{l^4}{B} N_5''
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2 \\ q
\end{bmatrix}
\\
&=
\tfrac{B}{l^4}
\begin{bmatrix}
\delta \omega_1 \! & \! \delta v_1\! & \! \delta \omega_2 \! & \! \delta v_2 \! & \! \delta q \\
\end{bmatrix}
\underbrace{
\begin{bmatrix}
\! l N_{1''} \! \\ \! N_{2''} \! \\ \! l N_{3''} \! \\ \! N_{4''} \! \\ \! \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \! \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
l N_{1''} \! & \! N_{2''}\! & \! l N_{3''} \! & \! N_{4''} \! & \! \tfrac{l^4}{B} N_{5''}
\end{bmatrix}
}_{
=
\begin{bmatrix}
l N_{1''} l N_{1''} & l N_{1''} N_{2''} & l N_{1''} l N_{3''} & l N_{1''} N_{4''} & l N_{1''} \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \\
& N_{2''} N_{2''} & N_{2''} l N_{3''} & N_{2''} N_{4''} & N_{2''} \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \\
& & l N_{3''} l N_{3''} & l N_{3''} N_{4''} & l N_{3''} \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \\
& & & N_{4''} N_{4''} & N_{4''} \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \\
\mathsf{sym} & & & & \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \\
\end{bmatrix}
}
\! \! \! \! \! \!
\begin{bmatrix}
\psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2 \\ q
\end{bmatrix}\end{split}\]
Integral
Integration über die (Einträge der) symmetrischen Matrix liefert:
\[\begin{split}\delta P_i
&=
\tfrac{B}{l^3}
\begin{bmatrix}
\delta \omega_1 & \delta v_1 & \delta \omega_2 & \delta v_2 & \delta q \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 l^{2} & - 6 l & 2 l^{2} & 6 l & 0\\
- 6 l & 12 & - 6 l & -12 & 0\\
2 l^{2} & - 6 l & 4 l^{2} & 6 l & 0\\
6 l & -12 & 6 l & 12 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{l^{8}}{720 B^{2}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2 \\ q
\end{bmatrix}\end{split}\]
Virtuelle äußere Leistung
\begin{align*}
\delta P_e
&=
M_1 \delta \omega_1 +
F_1 \delta v_1 +
M_2 \delta \omega_2 +
F_2 \delta v_2
+
q
\int_{\xi=0}^1 \delta v \, l \mathsf{d}\xi
\\
&=
\begin{bmatrix}
\delta \omega_1 & \delta v_1 & \delta \omega_2 & \delta v_2 & \delta q \\
\end{bmatrix}
\left\{
\begin{bmatrix}
M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ 0 \\
\end{bmatrix}
+
l \int_{\xi=0}^1
q
\begin{bmatrix}
l N_1 \\ N_2 \\ l N_3 \\ N_4 \\ \tfrac{l^4}{B} N_5 \\
\end{bmatrix}
\mathsf{d}\xi
\right\}
\\
&=
\begin{bmatrix}
\delta \omega_1 & \delta v_1 & \delta \omega_2 & \delta v_2 & \delta q \\
\end{bmatrix}
\left\{
\begin{bmatrix}
M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ 0 \\
\end{bmatrix}
+
q
\begin{bmatrix}
- \frac{l^{2}}{12} \\
\frac{l}{2} \\
\frac{l^{2}}{12} \\
\frac{l}{2} \\
\frac{l^{5}}{720 B} \\
\end{bmatrix}
\right\}
\\
\end{align*}
Prinzip der virtuellen Leistung
\[\begin{split}\delta P_i &= \delta P_e
\\
\tfrac{B}{l^3}
\begin{bmatrix}
4 l^{2} & - 6 l & 2 l^{2} & 6 l & 0\\
- 6 l & 12 & - 6 l & -12 & 0\\
2 l^{2} & - 6 l & 4 l^{2} & 6 l & 0\\
6 l & -12 & 6 l & 12 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{l^{8}}{720 B^{2}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2 \\ q
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ 0 \\
\end{bmatrix}
+
q
\begin{bmatrix}
- \frac{l^{2}}{12} \\
\frac{l}{2} \\
\frac{l^{2}}{12} \\
\frac{l}{2} \\
\frac{l^{5}}{720 B} \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
Die letzte dieser fünf Gleichungen ist trivial. Es bleibt:
\[\begin{split}\underbrace{
\tfrac{B}{l^3}
\begin{bmatrix}
4 l^{2} & - 6 l & 2 l^{2} & 6 l \\
- 6 l & 12 & - 6 l & -12 \\
2 l^{2} & - 6 l & 4 l^{2} & 6 l \\
6 l & -12 & 6 l & 12 \\
\end{bmatrix}
}_k
\underbrace{
\begin{bmatrix}
\psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2
\end{bmatrix}
}_u
&=
\underbrace{
\begin{bmatrix}
M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\
\end{bmatrix}
+
q
\begin{bmatrix}
- \frac{l^{2}}{12} \\
\frac{l}{2} \\
\frac{l^{2}}{12} \\
\frac{l}{2} \\
\end{bmatrix}
}_f
\\
ku &= f\end{split}\]
Source Code eines Programms dazu: Programm im nachfolgenden Frame ausführen? Dazu: Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter Play: Knopf SymPy
from sympy import var, diff, Matrix, pprint, integrate
l, q, B, xi = var("l, q, B, xi")
N1 = -xi**3 + 2*xi**2 - xi
N2 = 2*xi**3 - 3*xi**2 + 1
N3 = -xi**3 + xi**2
N4 = -2*xi**3 + 3*xi**2
N5 = xi**4/24 - xi**3/12 + xi**2/24
N = Matrix([l*N1, N2, l*N3, N4, l**4/B * N5])
Nξ = diff(N, xi)
Nξξ = diff(Nξ, xi)
Nξξt = Nξξ.transpose()
pprint("\nInt. over symm. Matrix:")
# Symm. Matrix:
tmp = Nξξ*Nξξt
# Integration:
tmp = integrate(tmp, (xi, 0, 1))
pprint(tmp)
fq = integrate(q*N*l, (xi, 0, 1))
pprint("\nfq:")
tmp = fq
pprint(tmp)
[ ]: einfügen.▶ drücken.