Herleitung mit Prinzip der virtuellen Leistung

Bezeichnungen

  • Abkürzung Biegesteifigkeit:

    \[B=EI\]
  • Umrechnung:

    \[\begin{split}x &= l \xi \\ \mathsf{d}x &= l\, \mathsf{d}\xi \\ \tfrac{\mathsf{d}}{\mathsf{d}x} &= \tfrac 1 l \tfrac{\mathsf{d}}{\mathsf{d}\xi} \\ \tfrac{\mathsf{d}^2}{\mathsf{d}x^2} &= \tfrac{1}{l^2} \tfrac{\mathsf{d}^2}{\mathsf{d}\xi^2} \\\end{split}\]
  • Ableitung nach \(x\) und \(\xi\):

    \[\begin{split}\tfrac{\mathsf{d}N_1}{\mathsf{d}x} &= N_1' \\ \tfrac{\mathsf{d}^2 N_1}{\mathsf{d}x^2} &= N_1'' \\ \tfrac{\mathsf{d}N_1}{\mathsf{d}\xi} &= N_{1'} \\ \tfrac{\mathsf{d}^2 N_1}{\mathsf{d}\xi^2} &= N_{1''} \\\end{split}\]
  • \(\delta v\): Virtuelle Geschwindigkeit mit Einheit \(\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\)

  • \(\delta \omega\): Virtuelle Winkelgeschwindigkeit mit Einheit \(\tfrac{1}{\mathrm s}\)

  • \(\delta \omega ' = \tfrac{\partial}{\partial \bar x} \delta \omega\): Zuwachs der virtuellen Winkelgeschwindigkeit entlang der Position \(\bar x\) im Balken mit Einheit \(\tfrac{1}{\mathrm{m\cdot s}}\)

Interpolation

\[\begin{split}\begin{bmatrix} w \\ \delta v \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \psi_1 & w_1 & \psi_2 & w_2 & q \\ \delta \omega_1 & \delta v_1 & \delta \omega_2 & \delta v_2 & \delta q \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l N_1 \\ N_2 \\ l N_3 \\ N_4 \\ \tfrac{l^4}{B} N_5 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{bmatrix} \psi \\ \delta \omega \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \psi_1 & w_1 & \psi_2 & w_2 & q \\ \delta \omega_1 & \delta v_1 & \delta \omega_2 & \delta v_2 & \delta q \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} - l N_1' \\ - N_2' \\ - l N_3' \\ - N_4' \\ - \tfrac{l^4}{B} N_5' \\ \end{bmatrix}\end{split}\]
\[\begin{split}w'' &= \begin{bmatrix} \psi_1 & w_1 & \psi_2 & w_2 & q \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l N_1'' \\ N_2'' \\ l N_3'' \\ N_4'' \\ \tfrac{l^4}{B} N_5'' \\ \end{bmatrix} \\ \delta \omega' &= \begin{bmatrix} \delta \omega_1 & \delta v_1 & \delta \omega_2 & \delta v_2 & \delta q \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -l N_1'' \\ -N_2'' \\ -l N_3'' \\ -N_4'' \\ -\tfrac{l^4}{B} N_5'' \\ \end{bmatrix}\end{split}\]
\[\begin{split}M &= - B w'' \\ &= - B \begin{bmatrix} \psi_1 & w_1 & \psi_2 & w_2 & q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l N_1'' \\ N_2'' \\ l N_3'' \\ N_4'' \\ \tfrac{l^4}{B} N_5'' \\ \end{bmatrix} \\ &= - B \begin{bmatrix} l N_1'' & N_2'' & l N_3'' & N_4'' & \tfrac{l^4}{B} N_5'' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2 \\ q \end{bmatrix}\end{split}\]

Virtuelle innere Leistung

\[\begin{split}\delta P_i &= \int_{x=0}^l M \delta \omega' \mathsf{d}x \\ &= l \int_{\xi=0}^1 \delta \omega' M \mathsf{d}\xi \\\end{split}\]

Integrand

\[\begin{split}\delta \omega' M &= \begin{bmatrix} \delta \omega_1 \! & \! \delta v_1\! & \! \delta \omega_2 \! & \! \delta v_2 \! & \! \delta q \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \! - l N_1'' \! \\ \! - N_2'' \! \\ \! - l N_3'' \! \\ \! - N_4'' \! \\ \! - \tfrac{l^4}{B} N_5''\! \\ \end{bmatrix} (-B) \begin{bmatrix} l N_1'' \! & \! N_2''\! & \! l N_3''\! & \! N_4'' \! & \! \tfrac{l^4}{B} N_5'' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2 \\ q \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{B}{l^4} \begin{bmatrix} \delta \omega_1 \! & \! \delta v_1\! & \! \delta \omega_2 \! & \! \delta v_2 \! & \! \delta q \\ \end{bmatrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} \! l N_{1''} \! \\ \! N_{2''} \! \\ \! l N_{3''} \! \\ \! N_{4''} \! \\ \! \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \! \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l N_{1''} \! & \! N_{2''}\! & \! l N_{3''} \! & \! N_{4''} \! & \! \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \end{bmatrix} }_{ = \begin{bmatrix} l N_{1''} l N_{1''} & l N_{1''} N_{2''} & l N_{1''} l N_{3''} & l N_{1''} N_{4''} & l N_{1''} \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \\ & N_{2''} N_{2''} & N_{2''} l N_{3''} & N_{2''} N_{4''} & N_{2''} \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \\ & & l N_{3''} l N_{3''} & l N_{3''} N_{4''} & l N_{3''} \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \\ & & & N_{4''} N_{4''} & N_{4''} \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \\ \mathsf{sym} & & & & \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \tfrac{l^4}{B} N_{5''} \\ \end{bmatrix} } \! \! \! \! \! \! \begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2 \\ q \end{bmatrix}\end{split}\]

Integral

Integration über die (Einträge der) symmetrischen Matrix liefert:

\[\begin{split}\delta P_i &= \tfrac{B}{l^3} \begin{bmatrix} \delta \omega_1 & \delta v_1 & \delta \omega_2 & \delta v_2 & \delta q \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 l^{2} & - 6 l & 2 l^{2} & 6 l & 0\\ - 6 l & 12 & - 6 l & -12 & 0\\ 2 l^{2} & - 6 l & 4 l^{2} & 6 l & 0\\ 6 l & -12 & 6 l & 12 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{l^{8}}{720 B^{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2 \\ q \end{bmatrix}\end{split}\]

Virtuelle äußere Leistung

\begin{align*} \delta P_e &= M_1 \delta \omega_1 + F_1 \delta v_1 + M_2 \delta \omega_2 + F_2 \delta v_2 + q \int_{\xi=0}^1 \delta v \, l \mathsf{d}\xi \\ &= \begin{bmatrix} \delta \omega_1 & \delta v_1 & \delta \omega_2 & \delta v_2 & \delta q \\ \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + l \int_{\xi=0}^1 q \begin{bmatrix} l N_1 \\ N_2 \\ l N_3 \\ N_4 \\ \tfrac{l^4}{B} N_5 \\ \end{bmatrix} \mathsf{d}\xi \right\} \\ &= \begin{bmatrix} \delta \omega_1 & \delta v_1 & \delta \omega_2 & \delta v_2 & \delta q \\ \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} - \frac{l^{2}}{12} \\ \frac{l}{2} \\ \frac{l^{2}}{12} \\ \frac{l}{2} \\ \frac{l^{5}}{720 B} \\ \end{bmatrix} \right\} \\ \end{align*}

Prinzip der virtuellen Leistung

\[\begin{split}\delta P_i &= \delta P_e \\ \tfrac{B}{l^3} \begin{bmatrix} 4 l^{2} & - 6 l & 2 l^{2} & 6 l & 0\\ - 6 l & 12 & - 6 l & -12 & 0\\ 2 l^{2} & - 6 l & 4 l^{2} & 6 l & 0\\ 6 l & -12 & 6 l & 12 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{l^{8}}{720 B^{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2 \\ q \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} - \frac{l^{2}}{12} \\ \frac{l}{2} \\ \frac{l^{2}}{12} \\ \frac{l}{2} \\ \frac{l^{5}}{720 B} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Die letzte dieser fünf Gleichungen ist trivial. Es bleibt:

\[\begin{split}\underbrace{ \tfrac{B}{l^3} \begin{bmatrix} 4 l^{2} & - 6 l & 2 l^{2} & 6 l \\ - 6 l & 12 & - 6 l & -12 \\ 2 l^{2} & - 6 l & 4 l^{2} & 6 l \\ 6 l & -12 & 6 l & 12 \\ \end{bmatrix} }_k \underbrace{ \begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2 \end{bmatrix} }_u &= \underbrace{ \begin{bmatrix} M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} - \frac{l^{2}}{12} \\ \frac{l}{2} \\ \frac{l^{2}}{12} \\ \frac{l}{2} \\ \end{bmatrix} }_f \\ ku &= f\end{split}\]

SymPy

Nachfolgend ein Programm, dass Sie ausführen können:

  • Auf dem PC z.B. mit Anaconda.

  • Im Browser (online) in drei Schritten:

    1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

    2. Paste: Source Code als Python-Notebook einfügen z.B. auf:

    3. Play: Ausführen.

from sympy import var, diff, Matrix, pprint, integrate

l, q, B, xi = var("l, q, B, xi")

N1 = -xi**3 + 2*xi**2 - xi
N2 = 2*xi**3 - 3*xi**2 + 1
N3 = -xi**3 + xi**2
N4 = -2*xi**3 + 3*xi**2
N5 = xi**4/24 - xi**3/12 + xi**2/24

N = Matrix([l*N1, N2, l*N3, N4, l**4/B * N5])
 = diff(N, xi)
Nξξ = diff(, xi)
Nξξt = Nξξ.transpose()

pprint("\nInt. over symm. Matrix:")
# Symm. Matrix:
tmp = Nξξ*Nξξt

# Integration:
tmp = integrate(tmp, (xi, 0, 1))
pprint(tmp)

fq  = integrate(q*N*l, (xi, 0, 1))
pprint("\nfq:")
tmp = fq
pprint(tmp)
                       
Int. over symm. Matrix:
⎡   2           2             ⎤
⎢4⋅l   -6⋅l  2⋅l   6⋅l    0   ⎥
⎢                             ⎥
⎢-6⋅l   12   -6⋅l  -12    0   ⎥
⎢                             ⎥
⎢   2           2             ⎥
⎢2⋅l   -6⋅l  4⋅l   6⋅l    0   ⎥
⎢                             ⎥
⎢6⋅l   -12   6⋅l   12     0   ⎥
⎢                             ⎥
⎢                          8  ⎥
⎢                         l   ⎥
⎢ 0     0     0     0   ──────⎥
⎢                            2⎥
⎣                       720⋅B ⎦
   
fq:
⎡  2   ⎤
⎢-l ⋅q ⎥
⎢──────⎥
⎢  12  ⎥
⎢      ⎥
⎢ l⋅q  ⎥
⎢ ───  ⎥
⎢  2   ⎥
⎢      ⎥
⎢  2   ⎥
⎢ l ⋅q ⎥
⎢ ──── ⎥
⎢  12  ⎥
⎢      ⎥
⎢ l⋅q  ⎥
⎢ ───  ⎥
⎢  2   ⎥
⎢      ⎥
⎢  5   ⎥
⎢ l ⋅q ⎥
⎢───── ⎥
⎣720⋅B ⎦

Statt SymPy lieber anderes CAS (Computeralgebrasystem) verwenden? Eine Auswahl verschiedener CAS gibt es hier.