Äquivalente Knotenlasten

Ansatzfunktionen, Ableitungen nach \(\xi\)

R2-Element / R2B2-Element

\begin{align*} \begin{bmatrix} N_1 \\ N_2 \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 - \xi \\ \xi \\ \end{bmatrix} \quad & \quad \begin{bmatrix} N_{1'} \\ N_{2'} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \end{align*}

R3-Element

\begin{align*} \begin{bmatrix} N_0 \\ N_1 \\ N_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 - 3 \xi + 2 \xi^2\\ 4 \xi - 4 \xi^2\\ -\xi + 2 \xi^2 \end{bmatrix} \quad & \quad \begin{bmatrix} N_{0'} \\ N_{1'} \\ N_{2'} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4 \xi - 3\\ 4 - 8 \xi\\ 4 \xi -1 \end{bmatrix} \end{align*}

B2-Element

\begin{align*} \begin{bmatrix} N_1 \\ N_2 \\ N_3 \\ N_4 \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - \xi^{3} + 2 \xi^{2} - \xi\\ 2 \xi^{3} - 3 \xi^{2} + 1 \\ - \xi^{3} + \xi^{2} \\ - 2 \xi^{3} + 3 \xi^{2} \\ \end{bmatrix} \end{align*}

Integrale

Die Äquivalenten Knotenlasten werden mit folgenden Integralen berechnet:

R2-Element / R2B2-Element

\begin{align*} \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} &= l \begin{bmatrix} \int_{\xi = 0}^1 n \cdot N_1 \, {\mathsf d}{\xi} \\ \int_{\xi = 0}^1 n \cdot N_2 \, {\mathsf d}{\xi} \end{bmatrix} \quad & \quad \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} &= EA \begin{bmatrix} \int_{\xi = 0}^1 \epsilon \cdot N_ {1'} \, {\mathsf d}{\xi} \\ \int_{\xi = 0}^1 \epsilon \cdot N_ {2'} \, {\mathsf d}{\xi} \end{bmatrix} \end{align*}

R3-Element

\begin{align*} \begin{bmatrix} F_0 \\ F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} &= l \begin{bmatrix} \int_{\xi = 0}^1 n \cdot N_0 \, {\mathsf d}{\xi} \\ \int_{\xi = 0}^1 n \cdot N_1 \, {\mathsf d}{\xi} \\ \int_{\xi = 0}^1 n \cdot N_2 \, {\mathsf d}{\xi} \end{bmatrix} \quad & \quad \begin{bmatrix} F_0 \\ F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} &= EA \begin{bmatrix} \int_{\xi = 0}^1 \epsilon \cdot N_ {0'} \, {\mathsf d}{\xi} \\ \int_{\xi = 0}^1 \epsilon \cdot N_ {1'} \, {\mathsf d}{\xi} \\ \int_{\xi = 0}^1 \epsilon \cdot N_ {2'} \, {\mathsf d}{\xi} \end{bmatrix} \end{align*}

B2-Element

\begin{align*} \begin{bmatrix} M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \end{bmatrix} &= l \begin{bmatrix} \int_{\xi=0}^1 q \cdot l N_1 \, \mathsf{d}\xi \\ \int_{\xi=0}^1 q \cdot N_2 \, \mathsf{d}\xi\\ \int_{\xi=0}^1 q \cdot l N_3 \, \mathsf{d}\xi\\ \int_{\xi=0}^1 q \cdot N_4 \, \mathsf{d}\xi\\ \end{bmatrix} \end{align*}

Was berechnet wird

• Es werden Integrale berechnet.

• Integrationsvariable ist \(\xi\). Und Integrationsbereich ist \([0, 1]\).

• Der Integrand ist das Produkt aus zwei Funktionen \(f\) und \(g\):

  • \(f\) ist die Funktion, die die verteilte Last beschreibt.

  • \(g\) eine Ansatzfunktion oder die Ableitung einer Ansatzfunktion.

  \[I = \int_{\xi=0}^1 f \cdot g \,\,\, \mathsf{d}\xi\]

R2-Element

zu Zählrichtungen siehe R2-Element

R3-Element

zu Zählrichtungen siehe R3

B2-Element

zu Zählrichtungen siehe B2-Element

Video

Knotenlasten aufgrund äußerer Lasten \(q_\xi, M_\xi, F_\xi\) zwischen den Element-Knoten. Oben: Lineares System. Mitte: Generische Lasten. Unten: Äquivalente Knotenlasten.

Details

Generische Lasten -> Generische Rechte Seite

• Momente \(M_1, M_2\) sowie Kräfte \(F_1, F_2\) an den Knoten.

• Pro Element konstante verteilte \(q\)-Last.

• Die FEM-Lösung gleicht der klassischen Lösung, denn das Balken-Element wurde definiert, um diese generischen Lasten abzubilden.

• Die rechte Seite \(f\) im Gleichungssystem \(ku = f\) ist:

\[\begin{split}f= \begin{bmatrix} M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} - \tfrac{1}{12}l^2 \\ \tfrac12 l\\ \tfrac{1}{12}l^2\\ \tfrac12 l \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Sonstige Lasten -> Rechte Seite mit Äquivalenten Knotenlasten

• Momente \(M_\xi\) an beliebiger Position \(\xi_M\) sowie Kräfte \(F_\xi\) an beliebiger Position \(\xi_F\).

• Beliebig verteilte \(q_\xi\)-Last.

• Die FEM-Lösung gleicht nicht der klassischen Lösung.

• Die sonstigen Lasten werden umgerechnet in die Äquivalenten Knotenlasten. [1] Diese Äquivalenten Knotenlasten bilden die rechte Seite \(f\):

\[\begin{split}f = M_\xi \begin{bmatrix} - l N_1' \\ - N_2' \\ - l N_3' \\ - N_4' \\ \end{bmatrix}_{\xi=\xi_M} + F_\xi \begin{bmatrix} l N_1 \\ N_2 \\ l N_3 \\ N_4 \\ \end{bmatrix}_{\xi=\xi_F} + \int_{\xi=0}^1 q_\xi \begin{bmatrix} l N_1 \\ N_2 \\ l N_3 \\ N_4 \\ \end{bmatrix} l \mathsf{d}\xi\end{split}\]

mit Interpolationsfunktionen und deren Ableitungen.

Fußnote:

[1]

Die bei der Umrechnung verwendete Annahme ist, dass die virtuelle äußere Leistung der sonstigen Lasten gleich ist der virtuellen äußeren Leistung der daraus berechneten Äquivalenten Knotenlasten.

Beispiele

Spaltenmatrizen = Äquivalente Knotenlasten.

Details

R2B2-Element

zu Zählrichtungen siehe R2B2-Element

Hinweis

• Die bisher gezeigten Äquivalenten Knotenlasten sind gültig für das R2-Element, für das R3-Element und für das B2-Element.

• Beim R2B2-Element müssen Einträge vom R2-Element kombiniert werden mit Einträgen vom B2-Element.

• Zusätzlich müssen die Einträge hinsichtlich der Vorzeichen angepasst werden.

• Wärmedehnung kann weder mit dem B2-Element noch mit dem R2B2-Element korrekt abgebildet werden - es sei denn, der Balken erleidet keine Biegung.

• Äquivalente Knotenlasten für das R2B2-Element (ohne Wärmedehnung):

  \[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1\bar x} \\ F_{1\bar y} \\ M_1 \\ F_{2\bar x} \\ F_{2\bar y} \\ M_2 \end{bmatrix}_{R2B2} = \begin{bmatrix} 0\\ - F_1 \\ M_1 \\ 0\\ - F_2 \\ M_2 \\ \end{bmatrix}_{B2q} + \begin{bmatrix} F_1\\ 0 \\ 0 \\ F_2\\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}_{R2n}\end{split}\]

• Äquivalente Knotenlasten für das R2B2-Element (ohne Biegung):

  \[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1\bar x} \\ F_{1\bar y} \\ M_1 \\ F_{2\bar x} \\ F_{2\bar y} \\ M_2 \end{bmatrix}_{R2B2} = \begin{bmatrix} F_1\\ 0 \\ 0 \\ F_2\\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}_{R2n} + \begin{bmatrix} F_1\\ 0 \\ 0 \\ F_2\\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}_{R2\epsilon}\end{split}\]