B2.D

Klassische Lösung

2.4.2.I

Gegeben ist ein Balken mit Elastizitätsmodul \(E\) und Flächenträgheitsmoment \(I\).

../../../_images/B2.D.png

Gegebene Symbole: \(a, q, F, E, I\).

Berechnen Sie damit die Verdrehung \(\psi_1\) und die Querverschiebung \(w_1\). Verwenden Sie die Bezeichnungen aus Balken-Element B2. Gehen Sie wie folgt vor:

Lösung vorab

../../../_images/B2.D_sol.png

1. FEM-Gleichung

../../../_images/B2.D_A.png

Folgende Gleichung beschreibt die Struktur. Tragen Sie die fehlenden Werte ein.

\[\begin{split}\tfrac{EI}{a^3} \begin{bmatrix} 4 a^2 & -6 a & 2 a^2 & 6 a \\ -6 a & 12 & -6 a & -12 \\ \ldots & \ldots & 4 a^2 & 6 a \\ \ldots & \ldots & 6 a & 12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ \psi_2 \\ w_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ M_2 \\ F_2 \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} - \tfrac{1}{12}a^2 \\ \tfrac12 a\\ \tfrac{1}{12}a^2\\ \tfrac12 a \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\tfrac{EI}{a^3} \begin{bmatrix} 4 a^2 & -6 a & 2 a^2 & 6 a \\ -6 a & 12 & -6 a & -12 \\ 2 a^2 & -6 a & 4 a^2 & 6 a \\ 6 a & -12 & 6 a & 12 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \psi_2 \\ w_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} M_1 \\ F_1 \\ M_2 \\ F_2 \\ \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} - \tfrac{1}{12}a^2 \\ \tfrac12 a\\ \tfrac{1}{12}a^2\\ \tfrac12 a \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

2. Superposition

Sei:

  • \((\psi_F, w_F)\): Verdrehung und Querverschiebung aufgrund \(F\) am linken Rand.

  • \((\psi_q, w_q)\): Verdrehung und Querverschiebung aufgrund \(q\) am linken Rand.

Falls beide Lasten wirken, ist:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \psi_F \\ w_F \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \psi_q \\ w_q \end{bmatrix}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \psi_F \\ w_F \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{a^{2}}{2 EI} \\ \tfrac{a^{3}}{3 EI} \\ \end{bmatrix} F \\ \begin{bmatrix} \psi_q \\ w_q \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{a^{3}}{6 EI} \\ \tfrac{a^{4}}{8 EI} \\ \end{bmatrix} q\end{split}\]

Lösung

Einsetzen der Randbedingungen:

\[\begin{split}\psi_2 &= 0 \\ w_2 &= 0\end{split}\]

und:

\[\begin{split}M_1 &= 0 \\ F_1 &= F\end{split}\]

in die ersten beiden Gleichungen liefert:

\[\begin{split}\tfrac{EI}{a^3} \begin{bmatrix} 4 a^2 & -6 a & 2 a^2 & 6 a \\ -6 a & 12 & -6 a & -12 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} \tfrac{1}{12}a^2 \\ - \tfrac12 a\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ F \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Dazu äquivalent ist:

\[\begin{split}\tfrac{EI}{a^3} \begin{bmatrix} 4 a^2 & -6 a \\ -6 a & 12 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \tfrac{1}{12}q a^2 \\ F + \tfrac12 q a \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tfrac{a^{2}}{6 EI} \left(3 F + a q\right) \\ \tfrac{a^{3}}{EI} \left(\tfrac{1}{3} F + \tfrac{1}{8} a q\right) \end{bmatrix}\end{split}\]

so dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \psi_F \\ w_F \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{a^{2}}{2 EI} \\ \tfrac{a^{3}}{3 EI} \\ \end{bmatrix} F \\ \begin{bmatrix} \psi_q \\ w_q \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{a^{3}}{6 EI} \\ \tfrac{a^{4}}{8 EI} \\ \end{bmatrix} q\end{split}\]

3. Lösung für gegebene Größen

Seien folgenden Größen gegeben:

\[\begin{split}a &= 3 \, \mathrm{m} \\ q &= 3 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \\ F &= 10 \, \mathrm{kN} \\ E &= 200 \, \mathrm{GPa} \\ I &= 6500 \, \mathrm{cm}^4\end{split}\]

Berechnen Sie hierfür \(\psi_1\) in \(\mathrm{^\circ}\) (Grad) und \(w_1\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter). Und zwar gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

\[\begin{split}\psi_1 &\stackrel{0{,}01}{\approx} \ldots ^\circ \\ w_1 &\stackrel{0{,}01}{\approx} \ldots \,\mathrm{mm}\end{split}\]

Lösung

Oben wurde berechnet:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tfrac{a^{2}}{6 EI} \left(3 F + a q\right) \\ \tfrac{a^{3}}{EI} \left(\tfrac{1}{3} F + \tfrac{1}{8} a q\right) \end{bmatrix}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \end{bmatrix} &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}26^\circ\\ 9{,}26 \,\mathrm{mm} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

4. Lagerreaktionen

Berechnen Sie für diese Größen die Lagerreaktionen in \(\mathrm{kNm}\) (Kilonewtonmeter) bzw. \(\mathrm{kN}\) (Kilonewton):

  • mit der FEM-Gleichung und

  • unter Verwendung der Gleichgewichtsbedingungen.

Lösung

../../../_images/B2.D_1.png

\((M_2, F_2)\) sind die Lagerreaktionen. Betrachtung der letzten beiden Gleichungen der FEM-Gleichung in Matrix-Form:

\[\begin{split}\tfrac{EI}{a^3} \begin{bmatrix} 2 a^2 & -6 a & 4 a^2 & 6 a \\ 6 a & -12 & 6 a & 12 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} M_2 \\ F_2 \\ \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} \tfrac{1}{12}a^2 \\ \tfrac12 a\\ \end{bmatrix} \\ \tfrac{EI}{a^3} \begin{bmatrix} 2 a^2 & -6 a \\ 6 a & -12 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} M_2 \\ F_2 \\ \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} \tfrac{1}{12}a^2 \\ \tfrac12 a\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen von \((M_2, F_2)\) führt auf:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} M_2 \\ F_2 \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - \tfrac{a}{2} \left(2 F + q a\right) \\ -F - qa \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - 43.5 \,\mathrm{kNm} \\ - 19{,}0 \,\mathrm{kN} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Verwendung der Gleichgewichtsbedingungen:

\[\begin{split}M_2 &= - a F - \tfrac 1 2 a q a \\ F_2 &= - F - qa\end{split}\]

Also dasselbe Ergebnis wie vorher.

5. Feder

Statt der verteilten Last \(q\) sei jetzt eine Feder mit Federsteifigkeit \(c\) wirksam.

../../../_images/B2.D_B.png

Gegebenes Symbol: \(c\). Gegebene Größe:

\[c = 1 \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{mm}}\]

Berechnen Sie hierfür \(\psi_1\) und \(w_1\):

  • abhängig von den gegebenen Symbolen. Zeigen Sie, dass:

    \[\begin{split}\psi_1 &= \frac{3 F a^{2}}{2 \left(3 EI + ca^{3}\right)} \\ w_1 &= \frac{F a^{3}}{3 EI + c a^{3}}\end{split}\]
  • für die gegebenen Größen in \(\mathrm{^\circ}\) (Grad) bzw. in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

    \[\begin{split}\psi_1 &\stackrel{0{,}01}{\approx} 0{,}12 ^\circ \\ w_1 &\stackrel{0{,}01}{\approx} 4{,}09 \,\mathrm{mm}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\tfrac{EI}{a^3} \begin{bmatrix} 4 a^2 & -6 a \\ -6 a & 12 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ w_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ F - c w_1 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen von \(\psi_1\) und \(w_1\) aus diesem linearen Gleichungssystem liefert:

\[\begin{split}\psi_1 &= \frac{3 F a^{2}}{2 \left(3 EI + ca^{3}\right)} \\ w_1 &= \frac{F a^{3}}{3 EI + c a^{3}}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[\begin{split}\psi_1 &\stackrel{0{,}01}{\approx} 0{,}12 ^\circ \\ w_1 &\stackrel{0{,}01}{\approx} 4{,}09 \,\mathrm{mm}\end{split}\]

Hinweis

  • Wenn der linke Balkenrand sich um \(w_1\) absenkt, wird die Feder um \(w_1\) verkürzt.

  • Im Innern der Feder wirkt dann eine Druckkraft \(c w_1\) bzw. gleichbedeutend eine Zugkraft \(- c w_1\).

  • Von der Feder auf den Balken und nach oben gerichtet wirkt eine Kraft \(c w_1\).

SymPy

  1. Copy: Source Code (siehe unten) aufklappen und kopieren.

  2. Paste: Einfügen als Python-Notebook z.B. auf:

  3. Play: Ausführen.

Source Code

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Rounding:
import decimal
from decimal import Decimal as DX
from copy import deepcopy
def iso_round(obj, pv, rounding=decimal.ROUND_HALF_EVEN):
    import sympy
    """
    Rounding acc. to DIN EN ISO 80000-1:2013-08
    place value = Rundestellenwert
    """
    assert pv in set([
        # place value   #  round to:
        1,              #  1
        0.1,            #  1st digit after decimal
        0.01,           #  2nd
        0.001,          #  3rd
        0.0001,         #  4th
        0.00001,        #  5th
        0.000001,       #  6th
        0.0000001,      #  7th
        0.00000001,     #  8th
        0.000000001,    #  9th
        0.0000000001,   # 10th
        ])
    objc = deepcopy(obj)
    try:
        tmp = DX(str(float(objc)))
        objc = tmp.quantize(DX(str(pv)), rounding=rounding)
    except:
        for i in range(len(objc)):
            tmp = DX(str(float(objc[i])))
            objc[i] = tmp.quantize(DX(str(pv)), rounding=rounding)
    return objc

# Units:
(k, M, G ) = ( 10**3, 10**6, 10**9 )
(mm, cm) = ( m/1000, m/100 )
Newton = kg*m/s**2
Pa     = Newton/m**2
MPa    = M*Pa
GPa    = G*Pa
kN     = k*Newton
deg    = pi/180
half = S(1)/2

# ---

a, EI, F, q, c = var('a, EI, F, q, c')

spring = True
# spring = False

sub_list = [
    (a, 3 *m),
    (q, 3 *kN/m),
    (EI, 200 *GPa* 6500 *cm**4),
    (F, 10 *kN),
    (c, 1 *kN / mm),
    ]

a2 = a*a
a3 = a*a*a

K44 = EI/a3
K44 *= Matrix(
[
[  4*a2 ,  -6*a ,  2*a2 ,   6*a ],
[ -6*a  ,  12   , -6*a  , -12   ],
[  2*a2 ,  -6*a ,  4*a2 ,   6*a ],
[  6*a  , -12   ,  6*a    , 12   ],
]
)

K = K44[0:2, 0:2]

p1,w1 = var("p1,w1")
M2,F2 = var("M2,F2")
u = Matrix([p1,w1])

if spring:
    f = Matrix([0, F - c*w1])
else:
    f = Matrix([0, F]) + q*Matrix([-a2/12, a/2])

unknowns = [p1, w1]
eq = Eq(K*u , f)
pprint(eq)
sol = solve(eq, unknowns)

p1, w1 = sol[p1], sol[w1]

pprint("\nψ₁:")
tmp = p1
pprint(tmp)
pprint("\nψ₁ / °:")
pprint(p1)
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp *= 180/pi
tmp = iso_round(tmp, 0.01)
pprint(tmp)

pprint("\nw₁:")
tmp = w1
pprint(tmp)
pprint("\nw₁ / mm:")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= mm
tmp = iso_round(tmp, 0.01)
pprint(tmp)

if not spring:
    K = K44[2:, 0:2]
    u = Matrix([p1,w1])
    f = Matrix([M2, F2]) + q*Matrix([a2/12, a/2])
    unknowns = [M2, F2]
    eq = Eq(K*u , f)
    pprint(eq)
    sol = solve(eq, unknowns)

    M2, F2 = sol[M2], sol[F2]

    pprint("\nM₂:")
    tmp = M2
    pprint(tmp)
    pprint("\nM₂ / kNm:")
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    tmp /= k*Newton*m
    pprint(tmp)

    pprint("\nF₂:")
    tmp = F2
    pprint(tmp)
    pprint("\nF₂ / kN:")
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    tmp /= kN
    pprint(tmp)

  • Lieber mit eigenem SymPy und offline? Es gibt z.B. Anaconda und Miniconda.

  • Statt SymPy lieber anderes CAS? Auswahl hier.

SymPy

Lösung dieser und anderen Aufgaben in einem Programm hier.