M.3.A

Bemerkung

Grundlagen: Tensor-Komponenten

Der Winkel \(\varphi\) zeigt die Winkelposition des blauen Bezugssystems an (relativ zum grünen).

Gegeben ist das grüne \((x,y)\)-Bezugssystem, das blaue \((\bar x, \bar y)\)-Bezugssystem und der symmetrische Tensor \(\boldsymbol T\) über seine \((x,y)\)-Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 4 \\ \mathsf{sym} & 7 \end{bmatrix}\end{split}\]

1. Kosinus und Sinus

Berechnen Sie Kosinus und Sinus des Winkels \(\varphi=10^\circ\) - und zwar gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}c_{\varphi} &\stackrel{0{,}01}{\approx} \ldots \\ s_{\varphi} &\stackrel{0{,}01}{\approx} \ldots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}c_{10^\circ} &\stackrel{0{,}01}{\approx} 0{,}98 \\ s_{10^\circ} &\stackrel{0{,}01}{\approx} 0{,}17\end{split}\]

2. Drehmatrizen für Passive Transformation

Seien \(\left(T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x \bar y}, T_{\bar y \bar y} \right)\) die \((\bar x, \bar y)\)-Komponenten des Tensors \(\boldsymbol T\). Geben Sie die Einträge der Matrizen \(R_\varphi\) und \(R_\varphi^{\mathsf T}\) in der folgenden Gleichung an. Und zwar für \(\varphi=10^\circ\) - und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = \underbrace{ \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} }_{R_\varphi} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} c_\varphi & - s_\varphi \\ s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} }_{R_\varphi^{\mathsf T}}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}R_\varphi &= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} c_{10^\circ} & s_{10^\circ} \\ -s_{10^\circ} & c_{10^\circ} \end{bmatrix} \\ \\ R_\varphi^{\mathsf T} &= \begin{bmatrix} c_\varphi & -s_\varphi \\ s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} c_{10^\circ} & -s_{10^\circ} \\ s_{10^\circ} & c_{10^\circ} \end{bmatrix}\end{split}\]

3. Passive Transformation

Berechnen Sie für \(\varphi=10^\circ\) - und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T} \\ &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

Verwenden Sie den Mohrschen Kreis, siehe Web-App, um Ihr Ergebnis zu prüfen.

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 14{,}19 & 2{,}73 \\ \mathsf{sym} & 5{,}81 \end{bmatrix}\end{split}\]

Ergebnis für andere Winkel

\(\varphi\)	\(\begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix}\)
\(90^\circ\)	\(\begin{bmatrix} 0{,}0 & 1{,}0 \\ -1{,}0 & 0{,}0 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} 7{,}0 & -4{,}0 \\ \mathsf{sym}& 13{,}0 \end{bmatrix}\)
\(180^\circ\)	\(\begin{bmatrix} -1{,}0 & 0{,}0 \\ 0{,}0 & -1{,}0 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} 13{,}0 & 4{,}0 \\ \mathsf{sym}& 7{,}0 \end{bmatrix}\)
\(-170^\circ\)	\(\begin{bmatrix} -0{,}98 & -0{,}17 \\ 0{,}17 & -0{,}98 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} 14{,}19 & 2{,}73 \\ \mathsf{sym} & 5{,}81 \end{bmatrix}\)

4. Drehmatrizen für Aktive Transformation

Seien \(\left(T'_{xx}, T'_{xy}, T'_{yy} \right)\) die \((x, y)\)-Komponenten des Tensors \(\boldsymbol T'\), der um \(\alpha\) relativ zu \(\boldsymbol T\) gedreht ist. Geben Sie die Einträge der Matrizen \(R_\alpha\) und \(R_\alpha^{\mathsf T}\) in der folgenden Gleichung an. Und zwar für \(\alpha=10^\circ\) - und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ \mathsf{sym} & T'_{yy} \end{bmatrix} = \underbrace{ \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} }_{R_\alpha} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} c_\alpha & s_\alpha \\ -s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} }_{R_\alpha^{\mathsf T}}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}R_\alpha &= \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} c_{10^\circ} & -s_{10^\circ} \\ s_{10^\circ} & c_{10^\circ} \end{bmatrix} \\ \\ R_\alpha^{\mathsf T} &= \begin{bmatrix} c_\alpha & s_\alpha \\ -s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} c_{10^\circ} & s_{10^\circ} \\ -s_{10^\circ} & c_{10^\circ} \end{bmatrix}\end{split}\]

5. Aktive Transformation

Berechnen Sie für \(\alpha=15^\circ\) - und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ \mathsf{sym} & T'_{yy} \end{bmatrix} &= R_\alpha \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\alpha^{\mathsf T} \\ &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

Verwenden Sie den Mohrschen Kreis, siehe Web-App, um Ihr Ergebnis zu prüfen.

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ \mathsf{sym} & T'_{yy} \end{bmatrix} &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 10{,}6 & 4{,}96 \\ \mathsf{sym} & 9{,}4 \end{bmatrix}\end{split}\]

Ergebnis für andere Winkel

\(\alpha\)	\(\begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ \mathsf{sym} & T'_{yy}\end{bmatrix}\)
\(90^\circ\)	\(\begin{bmatrix} 0{,}0 & -1{,}0 \\ 1{,}0 & 0{,}0 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} 7{,}0 & -4{,}0 \\ \mathsf{sym}& 13{,}0 \end{bmatrix}\)
\(180^\circ\)	\(\begin{bmatrix} -1{,}0 & 0{,}0 \\ 0{,}0 & -1{,}0 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} 13{,}0 & 4{,}0 \\ \mathsf{sym}& 7{,}0 \end{bmatrix}\)
\(-170^\circ\)	\(\begin{bmatrix} -0{,}98 & 0{,}17 \\ -0{,}17 & -0{,}98 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} 11{,}45 & 4{,}78 \\ \mathsf{sym} & 8{,}55 \end{bmatrix}\)

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