1.6.G

Gegeben ist ein Fachwerk. Am Knoten D ist ein Seil angebracht:

Sei:

jedes Gelenk sehr klein gegenüber allen übrigen Abmessungen, so dass z.B. gilt: \(\alpha=45^\circ\) und
der Kontakt zwischen den Gelenken und dem über die Gelenke gelegten Seil reibungslos.

Gegebene Symbole: \(a, F, G.\)

Berechnen Sie die Lagerreaktionen und Stabkräfte. Gehen Sie wie folgt vor.

1. Lagerreaktionen

Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}A_{h} &= - F \\ A_{v} &= - \tfrac{F}{2} + \tfrac{G}{2} \\ B_{v} &= \tfrac{F}{2} + \tfrac{G}{2}\end{split}\]

2. Stäbe 4, 5 und 7

Berechnen Sie \(S_4, S_5, S_7\). Schneiden Sie dazu in einem Freischnitt durch alle drei Stäbe.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}S_{4} &= - \sqrt{2} B_{v} + G \\ S_{5} &= B_{v} - \tfrac{\sqrt{2} G}{2} \\ S_{7} &= F - G - \tfrac{\sqrt{2} G}{2}\end{split}\]

3. Spezialfall

Berechnen Sie \(S_4, S_5, S_7\) für den Fall:

\[F = G = 1 \, \mathrm{N}\]

Lösung

\[\begin{split}S_{4} &= \left(- \sqrt{2} + 1\right)\,\mathrm{N}\\ S_{5} &= \tfrac{1}{2} \left(- \sqrt{2} + 2\right)\,\mathrm{N}\\ S_{7} &= - \tfrac{\sqrt{2}}{2} \,\mathrm{N}\end{split}\]

SymPy

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- JupyterLab oder
- Colab.
Play: Ausführen.

Source Code

from sympy import *

a, F, G = var("a, F, G")

A_h, A_v, B_v = var('A_h A_v B_v')

eqns = [
    Eq(0, A_h + F),
    Eq(0, A_v + B_v - G),
    Eq(0, - G * a + B_v * 2 * a - F * a),
    ]

unknowns = [B_v,A_h,A_v]
sol = solve(eqns, unknowns)
pprint(sol)

B_v = sol[B_v]

S4, S5, S7    = var('S4 S5 S7')

c=sqrt(2)/2

eqns = [
    Eq(0, -G - S7 - S5 - S4*c + F - G*c),
    Eq(0, -G*c + S4*c + B_v),
    Eq(0, a*S4*c + a*S5),
    ]

unknowns=[S4, S5, S7]
sol = solve(eqns, unknowns)
pprint(sol)

Lieber mit eigenem SymPy und offline? Es gibt z.B. Anaconda und Miniconda.
Statt SymPy lieber anderes CAS? Auswahl hier.