2.4.2.I-2

Aufgabe

../../../../_images/2.4.2.I-2.png

Gegebene Symbole: \(a, q, F, E, I\). Gegeben ist auch die Verschiebung \(w\) als:

\[w=\alpha w_F + \beta w_q\]

wobei \(\alpha\) und \(\beta\) Last-Skalierungs-Faktoren sind. Außerdem ist \(w_F\) die Verschiebung aufgrund \(F\) und \(w_q\) die Verschiebung aufgrund \(q\) gemäß:

\[\begin{split}w_F &= \tfrac{F a^3}{6 E I}\left\{ 2 - 3 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^3 \right\} \\ w_q &= \tfrac{q a^4}{24 E I}\left\{ 3 - 4 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^4 \right\}\end{split}\]

Gegebene Größen:

\[\begin{split}a &= 3\, \mathrm{m} \\ q &= 3\, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \\ F &= 10 \,\mathrm{kN} \\ E &= 200 \,\mathrm{GPa} \\ I &= 6500 \,\mathrm{cm}^4\end{split}\]

a)

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die Biegesteifigkeit \(B\) in \(\mathrm{kNm}^2\):

\[\begin{split}B &= EI \\ &= \dots \,\mathrm{kNm}^2\end{split}\]

zur Lösung

b)

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass:

\[M(x) = - \alpha F x - \tfrac12 \beta q x^2\]

Für die gegebenen Größen: Füllen Sie nachfolgende Tabelle aus. Berechnen Sie dazu das Moment am rechten Rand \(M(x=3\,\mathrm{m})\) in \(\mathrm{kNm}\) (Kilonewtonmeter) - gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\):

\(\alpha\)

\(\beta\)

\(M(3\,\mathrm{m})\,/\,\mathrm{kNm}\)

\(1\)

\(1\)

\(-43{,}5\)

\(1\)

\(0\)

\(0\)

\(1\)

Sei:

\[\begin{split}M_F &= - F x \\ M_q &= - \tfrac12 q x^2\end{split}\]

so dass:

\[M(x) = \alpha M_F + \beta M_q\]

Für die gegebenen Größen: Zeichnen Sie ein Diagramm mit:

  • \(M_F\) in \(\mathrm{kNm}\) (Kilonewtonmeter) über \(x \,/ \, a\)

  • \(M_q\) in \(\mathrm{kNm}\) (Kilonewtonmeter) über \(x \,/ \, a\)

zur Lösung

c)

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass:

\[w(0\,\mathrm{m}) = \tfrac{a^{3}}{E I} \left\{\tfrac 1 3 \alpha F + \tfrac 1 8 \beta q a\right\}\]

Für die gegebenen Größen: Füllen Sie nachfolgende Tabelle aus. Berechnen Sie dazu die Verschiebung am linken Rand \(w(x=0\,\mathrm{m})\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) - gerundet auf Rundestellenwert \(0.01\):

\(\alpha\)

\(\beta\)

\(w(0\,\mathrm{m})\,/\,\mathrm{mm}\)

\(1\)

\(1\)

\(9{,}26\)

\(1\)

\(0\)

\(0\)

\(1\)

Sei wie schon gesagt:

\[\begin{split}w_F &= \tfrac{F a^3}{6 E I}\left\{ 2 - 3 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^3 \right\} \\ w_q &= \tfrac{q a^4}{24 E I}\left\{ 3 - 4 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^4 \right\}\end{split}\]

Für die gegebenen Größen: Zeichnen Sie ein Diagramm mit:

  • \(w_F\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über \(x \,/ \, a\)

  • \(w_q\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über \(x \,/ \, a\)

zur Lösung

d)

Für die gegebenen Symbole und für \(\beta=1\): Berechnen Sie \(\alpha,\) so dass die Verschiebung bei \(x=0\,\mathrm{m}\) Null ist, so dass also \(w(x=0\,\mathrm{m}) = 0\).

Und: Berechnen Sie dieses \(\alpha\) für die gegebenen Größen in \(\mathrm{rad}\) (Radiant) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}001\). Zeigen Sie, dass:

\[\alpha \approx - 0{,}338\]

zur Lösung

e)

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass:

\[w'(0\,\mathrm{m}) = - \tfrac{a^2}{6 EI}\left(3 \alpha F + \beta q a \large\right)\]

Für die gegebenen Größen: Füllen Sie nachfolgende Tabelle aus. Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}00001\) bzw. auf \(0{,}001\).

\(\alpha\)

\(\beta\)

\(w'(0\,\mathrm{m})\, / \, \mathrm{rad}\)

\(w'(0\,\mathrm{m})\,/\, ^\circ\)

\(1\)

\(1\)

\(-0{,}00450\)

\(-0{,}258\)

\(1\)

\(0\)

\(0\)

\(1\)

zur Lösung

Lösung

a)

zur Aufgabe

\[B = 13000 \,\mathrm{kNm}^2\]

b)

zur Aufgabe

../../../../_images/2.4.2.I-2_1.png

Für die gegebenen Symbole: Gleichgewichtsbedingungen:

\[M(x) = \alpha M_F + \beta M_q\]

Für die gegebenen Größen und nach Einsetzen von \(x=3\,\mathrm{m}\):

\[M(3\mathrm{m}) = \left\{- 30 \alpha - \tfrac{27}{2}\beta\right\}\,\mathrm{kNm}\]

\(\alpha\)

\(\beta\)

\(M(3\,\mathrm{m})\,/\,\mathrm{kNm}\)

\(1\)

\(1\)

\(-43{,}5\)

\(1\)

\(0\)

\(-30{,}0\)

\(0\)

\(1\)

\(-13{,}5\)

Zeichnen von \(M_F\) und \(M_q\):

w

c)

zur Aufgabe

Für die gegebenen Symbole: Einsetzen von \(\tfrac x a = 0\) führt auf:

\[\begin{split}w (x) &= \alpha w_F + \beta w_q \\ w(0\,\mathrm{m}) &= \alpha \tfrac{F a^3}{6 E I}\cdot 2 + \beta \tfrac{q a^4}{24 E I}\cdot 3 \\ &= \tfrac{a^{3}}{E I} \left\{\tfrac 1 3 \alpha F + \tfrac 1 8 \beta q a\right\}\end{split}\]

Für die gegebenen Größen:

\(\alpha\)

\(\beta\)

\(w(0\,\mathrm{m})\,/\,\mathrm{mm}\)

\(1\)

\(1\)

\(9{,}26\)

\(1\)

\(0\)

\(6{,}92\)

\(0\)

\(1\)

\(2{,}34\)

Zeichnen von \(w_F\) und \(w_q\):

w

Hinweis

Für das Zeichnen kann man folgende Informationen verwenden:

\[\begin{split}w_F(0\,\mathrm{m}) &\approx 6{,}92\,\mathrm{mm} \\ w_q(0\,\mathrm{m}) &\approx 2{,}34\,\mathrm{mm} \\ w_F'(a) &= 0 \\ w_q'(a) &= 0\end{split}\]

Es gilt: \(M=-EI w''\) ist streng monoton. wobei \(w''\) näherungsweise die Krümmung des Graphen von \(w\) ist.

d)

zur Aufgabe

\[\begin{split}\beta &= 1 \\ \tfrac 1 3 \alpha F + \tfrac 1 8 \beta q a &= 0\end{split}\]

Lösung für \(\alpha\):

\[\alpha = - \tfrac 3 8 \tfrac{qa}{F}\]

Einsetzen der gegebenen Größen führt auf:

\[\begin{split}\alpha &= -\tfrac{27}{80} \\ &\approx - 0{,}338\end{split}\]

e)

zur Aufgabe

Für die gegebenen Symbole: Ableiten von \(w_F\) und \(w_q\):

\[\begin{split}w_F' &= \tfrac{F a^2}{6 E I}\left\{ - 3 + 3 \left[\tfrac x a \right]^2 \right\} \\ w_q' &= \tfrac{q a^3}{24 E I}\left\{ - 4 + 4 \left[\tfrac x a \right]^3 \right\}\end{split}\]

Einsetzen von \(x=0\,\mathrm{m}\):

\[\begin{split}w(0\,\mathrm{m}) &= \alpha w_F'(0\,\mathrm{m}) + \beta w_q'(0\,\mathrm{m})\\ &= -3 \alpha \tfrac{F a^2}{6 E I} - 4 \beta \tfrac{q a^3}{24 E I} \\ &= - \tfrac{a^2}{6 EI}\left(3 \alpha F + \beta q a \large\right)\end{split}\]

Für die gegebenen Größen:

\(\alpha\)

\(\beta\)

\(w'(0\,\mathrm{m})\, / \, \mathrm{rad}\)

\(w'(0\,\mathrm{m})\,/\, ^\circ\)

\(1\)

\(1\)

\(-0{,}00450\)

\(-0{,}258\)

\(1\)

\(0\)

\(-0{,}00346\)

\(-0{,}198\)

\(0\)

\(1\)

\(-0{,}00104\)

\(-0{,}056\)