Geben Sie Randbedingungen an. Zeigen Sie, dass die Auswertung der Randbedingungen auf folgende Integrationskonstanten führt:
\[\begin{split}C_1 &= - \tfrac{a^{2}}{6 EI} \left(3 F + a q\right) \\
C_2 &= \tfrac{a^{3}}{EI} \left(\tfrac{1}{3} F + \tfrac{1}{8} a q\right)\end{split}\]
Zeigen Sie, dass:
\[\begin{split}w
&=
\tfrac{F a^3}{6 E I}\left\{
2 - 3 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^3
\right\}
\dots \\
\dots
&+
\tfrac{q a^4}{24 E I}\left\{
3 - 4 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^4
\right\}\end{split}\]
Und aus diesen beiden Gleichungen lassen sich \(C_1\) und \(C_2\) berechnen. Lösung:
\begin{align}
C_1 &= - \tfrac{a^{2}}{6 EI} \left(3 F + a q\right) \\
C_2 &= \tfrac{a^{3}}{EI} \left(\tfrac{1}{3} F + \tfrac{1}{8} a q\right)
\end{align}
Einsetzen dieser \(C_1, C_2\) in die allgemeine Lösung liefert die spezielle Lösung:
\begin{align} \label{eq-2.4.2.I-S}
w
=
\tfrac{Fa^3}{6 E I}\left\{
2 - 3 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^3
\right\}
+
\tfrac{qa^4}{24 E I}\left\{
3 - 4 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^4
\right\}
\tag{1}
\end{align}
Für die gegebenen Größen: Zeichnen Sie \(w\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter) - und zwar für verschiedene Skalierungs-Faktoren \(-1<\alpha<1\) und \(-1<\beta<1,\) so dass:
\[\begin{split}w
&= \alpha \cdot F
\tfrac{a^3}{6 E I}\left\{
2 - 3 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^3
\right\}
\dots \\
\dots
&+ \beta \cdot q
\tfrac{a^4}{24 E I}\left\{
3 - 4 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^4
\right\}\end{split}\]
Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die Querverschiebung \(w\) und deren Ableitung \(w'\) bei \(x=0\,\mathrm{m}\). Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\) bzw. \(0{,}0001\). Zeigen Sie, dass: