2.4.2.I

Passende FEM-Aufgabe

2.4.2.I-FEM

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Gegebene Symbole: \(a, q, F, E, I.\)

Gegebene Größen:

\[\begin{split}a &= 3 \, \mathrm{m} \\ q &= 3 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \\ F &= 10 \, \mathrm{kN} \\ E &= 200 \, \mathrm{GPa} \\ I &= 6500 \, \mathrm{cm}^4\end{split}\]

Untersuchen Sie die Struktur. Gehen Sie wie folgt vor.

Schritte

1. Biegesteifigkeit

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die Biegesteifigkeit \(B\) in \(\mathrm{kNm}^2\):

\[\begin{split}B &= EI \\ &= \dots \,\mathrm{kNm}^2\end{split}\]

Lösung

\[B = 13000 \,\mathrm{kNm}^2\]

2. Biegemoment

Berechnen Sie das Biegemoment \(M\):

  • für die gegebenen Symbole als Funktion \(M(x)\) und

  • für die gegebenen Größen, und zwar bei \(x = 3\,\mathrm{m}.\)

Lösung

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  • Für die gegebenen Symbole:

\[M(x) = - \tfrac{1}{2} x \left(2 F + q x\right)\]
  • Für die gegebenen Größen und nach Einsetzen von \(x=3\,\mathrm{m}\):

\[\begin{split}M(x = 3\mathrm{m}) &= - \tfrac{87}{2} \,\mathrm{kNm} \\ &= - 43.5 \,\mathrm{kNm}\end{split}\]

3. Querverschiebung

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass:

\[w= \tfrac{1}{E I} \left\{ \tfrac{1}{6} F x^{3} + \tfrac{1}{24} q x^{4} \right\} + C_{1} x + C_{2}\]

mit zwei Konstanten \(C_1, C_2\).

Lösung

Ausgehend von:

\[w''(x) = - \tfrac{1}{EI} M(x)\]

Einsetzen von \(M(x)=- \tfrac{1}{2} x \left(2 F + q x\right)\) und Integration liefert:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.I-i} w'' &= - \tfrac{1}{EI} \left\{- F x - \tfrac{1}{2} q x^2 \right\} \notag \\ &= \tfrac{1}{EI} \left\{F x + \tfrac{1}{2} q x^2 \right\} \notag \\ w' &= \tfrac{1}{EI} \left\{\tfrac 1 2 F x^2 + \tfrac{1}{6} q x^3 \right\} + C_1 \tag{i1} \\ w &= \tfrac{1}{E I} \left\{ \tfrac{1}{6} F x^{3} + \tfrac{1}{24} q x^{4} \right\} + C_{1} x + C_{2} \tag{i2} \end{align}

mit \(C_1\) und \(C_2\) als Integrationskonstanten. Die letzte Gleichung heißt allgemeine Lösung.

4. Randbedingungen

Geben Sie Randbedingungen an. Zeigen Sie, dass die Auswertung der Randbedingungen auf folgende Integrationskonstanten führt:

\[\begin{split}C_1 &= - \tfrac{a^{2}}{6 EI} \left(3 F + a q\right) \\ C_2 &= \tfrac{a^{3}}{EI} \left(\tfrac{1}{3} F + \tfrac{1}{8} a q\right)\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}w &= \tfrac{F a^3}{6 E I}\left\{ 2 - 3 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^3 \right\} \dots \\ \dots &+ \tfrac{q a^4}{24 E I}\left\{ 3 - 4 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^4 \right\}\end{split}\]

Lösung

Randbedingungen am rechten Rand bei \(x=a\):

\begin{align} \label{eq-2.4.2.I-b} w(x=a) & \stackrel{!}{=} 0 \tag{b1}\\ w'(x=a)& \stackrel{!}{=} 0 \tag{b2} \end{align}

Auswerten der Funktionen (i2) an der Stelle \(x=a\) und Verwendung von (b1) liefert:

\[w(x=a) = \tfrac{1}{E I} \left\{ \tfrac{1}{6} F a^{3} + \tfrac{1}{24} q a^{4} \right\} + C_{1} a + C_{2} \stackrel{!}{=} 0\]

Auswerten der Funktionen (i1) an der Stelle \(x=a\) und Verwendung von (b2) liefert:

\[w'(x=a) = \tfrac{1}{EI} \left\{\tfrac 1 2 F a^2 + \tfrac{1}{6} q a^3 \right\} + C_1 \stackrel{!}{=} 0\]

Und aus diesen beiden Gleichungen lassen sich \(C_1\) und \(C_2\) berechnen. Lösung:

\[\begin{split}C_1 &= - \tfrac{a^{2}}{6 EI} \left(3 F + a q\right) \\ C_2 &= \tfrac{a^{3}}{EI} \left(\tfrac{1}{3} F + \tfrac{1}{8} a q\right)\end{split}\]

Einsetzen dieser \(C_1, C_2\) in die allgemeine Lösung liefert die spezielle Lösung:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.I-S} w &= F \tfrac{a^3}{6 E I}\left\{ 2 - 3 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^3 \right\} \dots\\ \dots &+ q \tfrac{a^4}{24 E I}\left\{ 3 - 4 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^4 \right\} \tag{1} \end{align}

5. Funktionsgraphen

Für die gegebenen Größen: Zeichnen Sie \(w\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über \(x \,/ \, a.\)

Definieren Sie Skalierungs-Faktoren \(-1<\alpha<1\) und \(-1<\beta<1.\) Zeichnen Sie \(w\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über \(x \,/ \, a\) für verschiedene \(\alpha\) und \(\beta\).

\[\begin{split}w &= \alpha \cdot F \tfrac{a^3}{6 E I}\left\{ 2 - 3 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^3 \right\} \dots \\ \dots &+ \beta \cdot q \tfrac{a^4}{24 E I}\left\{ 3 - 4 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^4 \right\}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}w &=\alpha \cdot F \tfrac{a^3}{6 E I}\left\{ 2 - 3 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^3 \right\} \dots\\ \dots &+ \beta \cdot q \tfrac{a^4}{24 E I}\left\{ 3 - 4 \left[\tfrac x a \right] + \left[\tfrac x a \right]^4 \right\}\end{split}\]
Displacement

6. Ergebnisse für gegebene Größen

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die Querverschiebung \(w\) und deren Ableitung \(w'\) bei \(x=0\,\mathrm{m}\). Runden Sie auf Rundestellenwert \(0.01\) bzw. \(0.0001\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}w(0) &\approx 9.26 \,\mathrm{mm} \\ w'(0) &= -0.0045\end{split}\]

Berechnen Sie außerdem den Verdrehung \(\psi\) bei \(x=0\). Find \(\psi\) in \(^\circ\) (degrees) and rounded to the place value \(0.0001\). Show that:

\[\begin{split}\psi(0) &= - w'(0) \\ &\approx 0.2578\,^\circ\end{split}\]

Lösung

Auswertung von (1) bei \(x=0\) liefert:

\[w(0)\approx 9.26\,\mathrm{mm}\]

Ableitung von \(w(x)\) liefert:

\[\begin{split}w' &= \tfrac{F a^2}{6 E I}\left\{ - 3 + 3 \left[\tfrac x a \right]^2 \right\} \dots \\ \dots &+ \tfrac{q a^3}{24 E I}\left\{ - 4 + 4 \left[\tfrac x a \right]^3 \right\}\end{split}\]

Auswertung bei \(x=0\) und Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[w'(0) = -0.00450\]

Verdreh-Winkel bei \(x=0\):

\[\begin{split}\psi(0) &= - w'(0)\\ &= 0.0045 \tfrac{180\,^\circ}{\pi} \\ &\approx 0.2578\,^\circ\end{split}\]

7. Ergebnis-Kontrolle

Überprüfen Sie Ihrer Ergebnisse. Zeigen Sie dazu, dass:

\[\begin{split}w(a) &= 0 \\ w'(a) &= 0\end{split}\]

Lösung

Auswerten der speziellen Lösung \(w\) bzw. (1) und der Ableitung \(w'\) bei \(x=a\) liefert:

\[\begin{split}w(a) &= 0 \\ w'(a) &= 0\end{split}\]

8. Spezialfall

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie \(F\) abhängig von \(qa\), so dass die Querverschiebung \(w(0)\) am linken Rand Null ist.

Lösung

For the given symbols: Evaluation of (1) at \(x=0\) leads to:

\[\begin{split}w(0) = 2 F\tfrac{a^3}{6 E I} + 3 q \tfrac{a^4}{24 E I} &\stackrel{!}{=} 0 \\ \tfrac 1 3 F &= - \tfrac 1 8 q a \\ F &= -\tfrac 3 8 q a\end{split}\]

9. Skalierungsfaktoren für Spezialfall

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie \(\alpha\) abhängig von \(\beta\), so dass \(w(0)\) Null ist.

Lösung

Für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}\alpha F &= - \beta \tfrac 3 8 q a \\ \alpha 10 \, \mathrm{kN}&= -\beta \tfrac 3 8 \, 3 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \, 3 \, \mathrm{m} \\ \alpha &= -\tfrac{27}{80} \beta \\ & \approx - 0.34 \beta\end{split}\]

Hinweis

Beispiele:

  • Für \(\beta=1\) wird \(w(0)\) Null, falls \(\alpha\approx - 0.34\)

  • Für \(\beta=-1\) wird \(w(0)\) Null, falls \(\alpha\approx + 0.34\)

  • Für \(\beta=0\) wird \(w(0)\) Null, falls \(\alpha=0\)