2.4.2.J
FEM-Lösung
Ein Kragbalken ist belastet durch zwei Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) und erleidet Verformungen \(w_1, \psi_1, w_2, \psi_2\).
Berechnen Sie die Querverschiebungen \(w_1\) und \(w_2\) sowie die Verdrehungen \(\psi_1\) und \(\psi_2\). Beachten Sie, dass die Deformation aufgrund \(F_1\) und \(F_2\) die Superposition ist aus der Deformation aufgrund \(F_1\) und der aufgrund \(F_2.\)
Gegebene Symbole: \(a, EI, F_1, F_2.\)
Formeln aus Literatur
Gegeben sind außerdem folgende Informationen für einen allgemeinen Kragbalken unter einer variabel positionierten Last \(\boldsymbol F\).
Sei wie im Bild dargestellt:
\(a_1\): Der Abstand zwischen der Einspannung und \(\boldsymbol F\).
\(a_2\): Der Abstand zwischen \(\boldsymbol F\) und dem Ende des Balkens.
Dann gilt:
mit \(\left(\alpha, \xi\right)\) und der Föppl-Klammer für \(n\ge 0\) gemäß:
(1) abgeleitet nach \(\xi\): Weiterhin ist \(\tfrac{\partial \xi}{\partial x} = \tfrac{1}{a_1+a_2}\), so dass:Herleitung von (2) aus (1)
Untersuchen Sie die Struktur. Gehen Sie wie folgt vor.
1. Eintragen der Werte
Die Größen \(F, a_1, a_2, \alpha, \xi\) können so gewählt werden, dass der gegebene Kragbalken ein Spezialfall des allgemeinen Kragbalkens ist. Die folgende Tabelle fasst diese Größen zusammen und legt fest, welche Werte für \(F, a_1, a_2, \alpha, \xi\) in (1) und (2) eingesetzt werden müssen, so so dass die gesuchten Deformationen, nämlich:
\(\left(w_{11}, \psi_{11}\right)\): (Querverschiebung, Verdrehung) bei \(F_1\) aufgrund \(F_1\)
\(\left(w_{12}, \psi_{12}\right)\): (Querverschiebung, Verdrehung) bei \(F_1\) aufgrund \(F_2\)
\(\left(w_{21}, \psi_{21}\right)\): (Querverschiebung, Verdrehung) bei \(F_2\) aufgrund \(F_1\)
\(\left(w_{22}, \psi_{22}\right)\): (Querverschiebung, Verdrehung) bei \(F_2\) aufgrund \(F_2\)
berechnet werden können. Fügen Sie die fehlenden Werte in folgende Tabelle ein.
\(F\) |
\(a_1\) |
\(a_2\) |
\(\alpha=\tfrac{a_1}{a_1+a_2}\) |
\(\xi=\tfrac{x}{a_1+a_2}\) |
|
|---|---|---|---|---|---|
\((w_{11}, \psi_{11})\) |
\(F_1\) |
\(a\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(1\) |
\((w_{12}, \psi_{12})\) |
\(F_2\) |
||||
\((w_{21}, \psi_{21})\) |
|||||
\((w_{22}, \psi_{22})\) |
\(F\) \(a_1\) \(a_2\) \(\alpha=\tfrac{a_1}{a_1+a_2}\) \(\xi=\tfrac{x}{a_1+a_2}\) \((w_{11}, \psi_{11})\) \(F_1\) \(a\) \(0\) \(1\) \(1\) \((w_{12}, \psi_{12})\) \(F_2\) \(2a\) \(0\) \(1\) \(\tfrac 1 2\) \((w_{21}, \psi_{21})\) \(F_1\) \(a\) \(a\) \(\tfrac 1 2\) \(1\) \((w_{22}, \psi_{22})\) \(F_2\) \(2a\) \(0\) \(1\) \(1\)Lösung
2. Berechnen der Deformationen
Werten Sie (1) und (2) mit den Werten aus der Tabelle aus. Zeigen Sie, dass:
3. Superposition
Berechnen Sie die Querverschiebung \(w_1\) und die Verdrehung \(\psi_1\) bei \(F_1\) aufgrund beider Kräfte \(F_1\) und \(F_2.\) Zeigen Sie, dass:
Einsetzen der Werte aus 2. Berechnen der Deformationen liefert das Ergebnis.Lösung
Ergebnis für gegebene Größen
Berechnen Sie \(w_2\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) für die folgenden Größen:
Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:
Einsetzen der gegebenen Größen liefert: Zur Veranschaulichung \(E= 210 \,\mathrm{GPa}\) entspricht dem E-Modul von Stahl. \(I = 318 \,\mathrm{cm}^4\) entspricht dem \(I_{yy}\) eines IPE 120. DIN 1025-5: IPE 120: \(I_{yy}\stackrel{1.0}{\approx} 318 \,\mathrm{cm}^4\) \(F_1 = F_2 = 10 \,\mathrm{kN}\) entspricht ca. der Gewichtskraft eines VW Polo. VW Polo: Masse ca. \(1000\,\mathrm{kg}\), Gewichtskraft ca. \(1000\,\mathrm{kg} \cdot 10\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 10 \,\mathrm{kN}\)Lösung
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Source Code
# -*- coding: utf-8 -*-
from sympy.physics.units import *
from sympy import *
# Units:
(k, M, G ) = ( 10**3, 10**6, 10**9 )
(mm, cm) = ( m/1000, m/100 )
Newton = kg*m/s**2
Pa = Newton/m**2
MPa = M*Pa
GPa = G*Pa
kN = k*Newton
deg = pi/180
half = S(1)/2
# Rounding:
import decimal
from decimal import Decimal as DX
from copy import deepcopy
def iso_round(obj, pv,
rounding=decimal.ROUND_HALF_EVEN):
import sympy
"""
Rounding acc. to DIN EN ISO 80000-1:2013-08
place value = Rundestellenwert
"""
assert pv in set([
# round to place value:
1,
0.1,
0.01,
0.001,
0.0001,
0.00001,
])
objc = deepcopy(obj)
try:
tmp = DX(str(float(objc)))
objc = tmp.quantize(DX(str(pv)),
rounding=rounding)
except:
for i in range(len(objc)):
tmp = DX(str(float(objc[i])))
objc[i] = tmp.quantize(DX(str(pv)),
rounding=rounding)
return objc
# ---
F1, F2, l, EI = var("F1, F2, l, EI")
def macaulay(x, a, n):
"https://en.wikipedia.org/wiki/Macaulay_brackets"
if x < a:
return 0
else:
return (x-a)**n
def w(EI, F, a, b, alpha, xi):
xi2 = xi*xi
xi3 = xi*xi*xi
tmp = F/6
tmp *= (a + b)**3
tmp *= 3*xi2*alpha - xi3 + macaulay(xi,alpha,3)
tmp /= EI
return tmp
def psi(EI, F, a, b, alpha, xi):
xi2 = xi*xi
tmp = - F/6
tmp *= (a + b)**2
tmp *= 6*xi*alpha - 3*xi2 + 3*macaulay(xi,alpha,2)
tmp /= EI
return tmp
# given symbols:
l, EI, F1, F2 = var("l, EI, F1, F2")
tpl_D = {}
tpl_D["11"] = ( F1, l, 0, 1, 1 )
tpl_D["21"] = ( F1, l, l, S(1)/2, 1 )
tpl_D["12"] = ( F2, 2*l, 0, 1, S(1)/2 )
tpl_D["22"] = ( F2, 2*l, 0, 1, 1 )
w_D = {}
p_D = {}
for x in sorted(tpl_D):
(F, a, b, alpha, xi) = tpl_D[x]
w_D[x] = w(EI, F, a, b, alpha, xi)
p_D[x] = psi(EI, F, a, b, alpha, xi)
(w1, p1) = (w_D["11"] + w_D["12"], p_D["11"] + p_D["12"])
(w2, p2) = (w_D["21"] + w_D["22"], p_D["21"] + p_D["22"])
pprint("\nw1, ψ1, w2, ψ2:")
pprint(w1)
pprint(p1)
pprint(p2)
pprint(w2)
sub_list = [
(F1, 10 *kN ),
(F2, 10 *kN ),
(l, 1 *m ),
(EI, 210 *GPa * 318*cm**4), # IPE 120
]
pprint("\nw2 / mm:")
tmp = w2.subs(sub_list)
tmp /= mm
tmp = iso_round(tmp,0.01)
pprint(tmp)