2.4.2.J

FEM-Lösung

B2.A

../../../../_images/2.4.2.J_a1.png

Ein Kragbalken ist belastet durch zwei Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) und erleidet Verformungen \(w_1, \psi_1, w_2, \psi_2\).

Berechnen Sie die Querverschiebungen \(w_1\) und \(w_2\) sowie die Verdrehungen \(\psi_1\) und \(\psi_2\). Beachten Sie, dass die Deformation aufgrund \(F_1\) und \(F_2\) die Superposition ist aus der Deformation aufgrund \(F_1\) und der aufgrund \(F_2.\)

Gegebene Symbole: \(a, EI, F_1, F_2.\)

Formeln aus Literatur

Gegeben sind außerdem folgende Informationen für einen allgemeinen Kragbalken unter einer variabel positionierten Last \(\boldsymbol F\).

../../../../_images/2.4.2.J.png

Sei wie im Bild dargestellt:

  • \(a_1\): Der Abstand zwischen der Einspannung und \(\boldsymbol F\).

  • \(a_2\): Der Abstand zwischen \(\boldsymbol F\) und dem Ende des Balkens.

Dann gilt:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.J-1} w = \tfrac{1}{EI}\left\{\tfrac16 F (a_1+a_2)^3 \left\{ 3 \xi^2 \alpha - \xi^3 + \langle \xi - \alpha \rangle^3 \right\} \right\}\tag{1} \end{align}
\begin{align} \label{eq-2.4.2.J-2} \psi = -\tfrac{1}{EI}\left\{\tfrac16 F (a_1+a_2)^2 \left\{ 6 \xi \alpha - 3\xi^2 + 3 \langle \xi - \alpha \rangle^2 \right\}\right\} \tag{2} \end{align}

mit \(\left(\alpha, \xi\right)\) und der Föppl-Klammer für \(n\ge 0\) gemäß:

\begin{align*} \left( \alpha, \xi \right) &= \left(\tfrac{a_1}{a_1+a_2} , \tfrac{x}{a_1+a_2} \right) & \\ \langle \xi-\alpha \rangle^n &= \begin{cases} 0 & \xi < \alpha \\ (\xi-\alpha)^n & \xi \ge \alpha \end{cases} \end{align*}

Herleitung von (2) aus (1)

(1) abgeleitet nach \(\xi\):

\[EI \tfrac{\partial w}{\partial \xi} = \tfrac16 F (a_1+a_2)^3 \left\{ 6 \xi \alpha - 3\xi^2 + 3 \langle \xi - \alpha \rangle^2 \right\}\]

Weiterhin ist \(\tfrac{\partial \xi}{\partial x} = \tfrac{1}{a_1+a_2}\), so dass:

\[\begin{split}EI w' &= EI \tfrac{\partial w}{\partial \xi}\tfrac{\partial \xi}{\partial x} \\ &= \tfrac16 F (a_1+a_2)^3 \left\{ 6 \xi \alpha - 3\xi^2 + 3 \langle \xi - \alpha \rangle^2 \right\} \tfrac{1}{a_1+a_2} \\ &= \tfrac16 F (a_1+a_2)^2 \left\{ 6 \xi \alpha - 3\xi^2 + 3 \langle \xi - \alpha \rangle^2 \right\} \\ EI \psi = - EI w' &= - \tfrac16 F (a_1+a_2)^2 \left\{ 6 \xi \alpha - 3\xi^2 + 3 \langle \xi - \alpha \rangle^2 \right\}\end{split}\]

Untersuchen Sie die Struktur. Gehen Sie wie folgt vor.

1. Eintragen der Werte

Die Größen \(F, a_1, a_2, \alpha, \xi\) können so gewählt werden, dass der gegebene Kragbalken ein Spezialfall des allgemeinen Kragbalkens ist. Die folgende Tabelle fasst diese Größen zusammen und legt fest, welche Werte für \(F, a_1, a_2, \alpha, \xi\) in (1) und (2) eingesetzt werden müssen, so so dass die gesuchten Deformationen, nämlich:

  • \(\left(w_{11}, \psi_{11}\right)\): (Querverschiebung, Verdrehung) bei \(F_1\) aufgrund \(F_1\)

  • \(\left(w_{12}, \psi_{12}\right)\): (Querverschiebung, Verdrehung) bei \(F_1\) aufgrund \(F_2\)

  • \(\left(w_{21}, \psi_{21}\right)\): (Querverschiebung, Verdrehung) bei \(F_2\) aufgrund \(F_1\)

  • \(\left(w_{22}, \psi_{22}\right)\): (Querverschiebung, Verdrehung) bei \(F_2\) aufgrund \(F_2\)

berechnet werden können. Fügen Sie die fehlenden Werte in folgende Tabelle ein.

\(F\)

\(a_1\)

\(a_2\)

\(\alpha=\tfrac{a_1}{a_1+a_2}\)

\(\xi=\tfrac{x}{a_1+a_2}\)

\((w_{11}, \psi_{11})\)

\(F_1\)

\(a\)

\(0\)

\(1\)

\(1\)

\((w_{12}, \psi_{12})\)

\(F_2\)

\((w_{21}, \psi_{21})\)

\((w_{22}, \psi_{22})\)

Lösung

\(F\)

\(a_1\)

\(a_2\)

\(\alpha=\tfrac{a_1}{a_1+a_2}\)

\(\xi=\tfrac{x}{a_1+a_2}\)

\((w_{11}, \psi_{11})\)

\(F_1\)

\(a\)

\(0\)

\(1\)

\(1\)

\((w_{12}, \psi_{12})\)

\(F_2\)

\(2a\)

\(0\)

\(1\)

\(\tfrac 1 2\)

\((w_{21}, \psi_{21})\)

\(F_1\)

\(a\)

\(a\)

\(\tfrac 1 2\)

\(1\)

\((w_{22}, \psi_{22})\)

\(F_2\)

\(2a\)

\(0\)

\(1\)

\(1\)

../../../../_images/2.4.2.J_1.png

2. Berechnen der Deformationen

Werten Sie (1) und (2) mit den Werten aus der Tabelle aus. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\left( w_{11}, \psi_{11} \right) &= \left( \tfrac{F_{1} a^{3}}{3 EI}, - \tfrac{F_{1} a^{2}}{2 EI} \right) \\ \left( w_{12}, \psi_{12} \right) &= \left( \tfrac{5 F_{2} a^{3}}{6 EI}, - \tfrac{3 F_{2} a^{2}}{2 EI} \right) \\ \left( w_{21}, \psi_{21} \right) &= \left( \tfrac{5 F_{1} a^{3}}{6 EI}, - \tfrac{F_{1} a^{2}}{2 EI} \right) \\ \left( w_{22}, \psi_{22} \right) &= \left( \tfrac{8 F_{2} a^{3}}{3 EI}, - \tfrac{2 F_{2}}{EI} a^{2} \right)\end{split}\]

Hinweis

Es gilt:

\[w_{12} F_1 = w_{21} F_2\]

vgl. Satz von Maxwell-Betti.

Lösung

Einsetzen der Tabellenwerte in die Formeln (1) für \(w\) und (2) \(\psi\) liefert das Ergebnis.

3. Superposition

Berechnen Sie die Querverschiebung \(w_1\) und die Verdrehung \(\psi_1\) bei \(F_1\) aufgrund beider Kräfte \(F_1\) und \(F_2.\) Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}w_1 &= w_{11} + w_{12} \\ &= \tfrac{F_{1} a^{3}}{3 EI} + \tfrac{5 F_{2} a^{3}}{6 EI} \\ \psi_1 &= \psi_{11} + \psi_{12}\\ &= - \tfrac{F_{1} a^{2}}{2 EI} - \tfrac{3 F_{2} a^{2}}{2 EI} \\ w_2 &= w_{21} + w_{22} \\ &= \tfrac{5 F_{1} a^{3}}{6 EI} + \tfrac{8 F_{2} a^{3}}{3 EI} \\ \psi_2 &= \psi_{21} + \psi_{22} \\ &= - \tfrac{F_{1} a^{2}}{2 EI} - \tfrac{2 F_{2}}{EI} a^{2}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen der Werte aus 2. Berechnen der Deformationen liefert das Ergebnis.

Ergebnis für gegebene Größen

Berechnen Sie \(w_2\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) für die folgenden Größen:

\[\begin{split}F_1 &= 10 \,\mathrm{kN} \\ F_2 &= 10 \,\mathrm{kN} \\ a &= 1 \,\mathrm{m} \\ E &= 210 \,\mathrm{GPa} \\ I &= 318 \,\mathrm{cm}^4\end{split}\]

Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[w_2 \stackrel{0{,}01}{\approx} 52{,}41 \,\mathrm{mm}\]

Lösung

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[w_2 \stackrel{0.01}{\approx} 52{,}41 \,\mathrm{mm}\]

Zur Veranschaulichung

  • \(E= 210 \,\mathrm{GPa}\) entspricht dem E-Modul von Stahl.

  • \(I = 318 \,\mathrm{cm}^4\) entspricht dem \(I_{yy}\) eines IPE 120.

    ../../../../_images/ipe_1201.png

    DIN 1025-5: IPE 120: \(I_{yy}\stackrel{1.0}{\approx} 318 \,\mathrm{cm}^4\)

  • \(F_1 = F_2 = 10 \,\mathrm{kN}\) entspricht ca. der Gewichtskraft eines VW Polo.

    ../../../../_images/VW_Polo_IV_front_200711061.jpg

    VW Polo: Masse ca. \(1000\,\mathrm{kg}\), Gewichtskraft ca. \(1000\,\mathrm{kg} \cdot 10\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 10 \,\mathrm{kN}\)

SymPy

  1. Copy: Source Code (siehe unten) aufklappen und kopieren.

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  3. Play: Ausführen.

Source Code

# -*- coding: utf-8 -*-
from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(k, M, G ) = ( 10**3, 10**6, 10**9 )
(mm, cm) = ( m/1000, m/100 )
Newton = kg*m/s**2
Pa     = Newton/m**2
MPa    = M*Pa
GPa    = G*Pa
kN     = k*Newton
deg    = pi/180
half = S(1)/2

# Rounding:
import decimal
from decimal import Decimal as DX
from copy import deepcopy
def iso_round(obj, pv,
    rounding=decimal.ROUND_HALF_EVEN):
    import sympy
    """
    Rounding acc. to DIN EN ISO 80000-1:2013-08
    place value = Rundestellenwert
    """
    assert pv in set([
        # round to place value:
        1,
        0.1,
        0.01,
        0.001,
        0.0001,
        0.00001,
        ])
    objc = deepcopy(obj)
    try:
        tmp = DX(str(float(objc)))
        objc = tmp.quantize(DX(str(pv)),
            rounding=rounding)
    except:
        for i in range(len(objc)):
            tmp = DX(str(float(objc[i])))
            objc[i] = tmp.quantize(DX(str(pv)),
                rounding=rounding)
    return objc

# ---

F1, F2, l, EI = var("F1, F2, l, EI")

def macaulay(x, a, n):
    "https://en.wikipedia.org/wiki/Macaulay_brackets"
    if x < a:
        return 0
    else:
        return (x-a)**n

def w(EI, F, a, b, alpha, xi):
    xi2 = xi*xi
    xi3 = xi*xi*xi
    tmp = F/6
    tmp *= (a + b)**3
    tmp *= 3*xi2*alpha - xi3 + macaulay(xi,alpha,3)
    tmp /= EI
    return tmp

def psi(EI, F, a, b, alpha, xi):
    xi2 = xi*xi
    tmp = - F/6
    tmp *= (a + b)**2
    tmp *= 6*xi*alpha - 3*xi2 + 3*macaulay(xi,alpha,2)
    tmp /= EI
    return tmp

# given symbols:
l, EI, F1, F2 = var("l, EI, F1, F2")


tpl_D = {}
tpl_D["11"] = ( F1, l, 0, 1, 1 )
tpl_D["21"] = ( F1, l, l, S(1)/2, 1 )
tpl_D["12"] = ( F2, 2*l, 0, 1, S(1)/2 )
tpl_D["22"] = ( F2, 2*l, 0, 1, 1 )

w_D = {}
p_D = {}

for x in sorted(tpl_D):
    (F, a, b, alpha, xi) = tpl_D[x]
    w_D[x] =   w(EI, F, a, b, alpha, xi)
    p_D[x] = psi(EI, F, a, b, alpha, xi)

(w1, p1) = (w_D["11"] + w_D["12"], p_D["11"] + p_D["12"])
(w2, p2) = (w_D["21"] + w_D["22"], p_D["21"] + p_D["22"])

pprint("\nw1, ψ1, w2, ψ2:")
pprint(w1)
pprint(p1)
pprint(p2)
pprint(w2)

sub_list = [
    (F1,   10 *kN             ),
    (F2,   10 *kN             ),
    (l,     1 *m              ),
    (EI,  210 *GPa * 318*cm**4), # IPE 120
    ]

pprint("\nw2 / mm:")
tmp = w2.subs(sub_list)
tmp /= mm
tmp = iso_round(tmp,0.01)
pprint(tmp)

  • Lieber mit eigenem SymPy und offline? Es gibt z.B. Anaconda und Miniconda.

  • Statt SymPy lieber anderes CAS? Auswahl hier.