3.3.A

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  • Starrkörper 1 und 2 sind bei B gelenkig miteinander verbunden.

  • Teilchen A auf Starrkörper 1 wird vertikal geführt mit der Geschwindigkeit \(v_A\).

  • Teilchen C auf Starrkörper 2 wird vertikal geführt.

  • Teilchen D auf Starrkörper 2 wird horizontal geführt.

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Gegebene Symbole: \(v_A > 0, h.\) Gehen Sie wie folgt vor, um die Struktur besser zu verstehen.

Schritte

1. Momentanpol-Position von Körper 2

Kennzeichnen Sie die Position des Momentanpols von Starrkörper 2.

Lösung

../../../_images/3.3.A_1.png

2. Winkelgeschwindigkeit von Körper 2

Definieren Sie mit Pfeilen:

  • Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega_2\) von Starrkörper 2.

  • Die Geschwindigkeit \(v_B\) eines Teilchens bei B.

  • Die Geschwindigkeit \(v_C\) eines Teilchens bei B.

Lösung

../../../_images/3.3.A_2.png

3. Momentanpol-Position von Körper 1

Kennzeichnen Sie die Position des Momentanpols von Starrkörper 1.

Lösung

../../../_images/3.3.A_3.png

4. Winkelgeschwindigkeit von Körper 1

Definieren Sie die Winkelgeschwindigkeit \(\omega_1\) von Starrkörper 1 mit einem Pfeil entgegen dem Uhrzeigersinn. Zeigen Sie, dass:

\[\omega_1 = \omega_2\]

Lösung

../../../_images/3.3.A_3.png
\[\begin{split}v_B &= r \omega_1 \\ &= r \omega_2\end{split}\]

Darum ist:

\[\begin{split}r \omega_1 &= r \omega_2 \\\ \omega_1 &= \omega_2\end{split}\]

5. Geschwindigkeit von D

Definieren Sie die Geschwindigkeit \(v_D\) eines Teilchens bei D mit einem Pfeil. Und zeigen Sie, dass:

\[v_D =\tfrac13 v_A\]

Lösung

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D bewegt sich nach links, weil D unter dem Momentanpol liegt und Starrkörper 2 im Uhrzeigersinn rotiert. Da der Abstand zwischen \(\mathsf{M}_2\) und D ein Drittel des Abstands zwischen \(\mathsf{M}_1\) und A ist, und da beide Starrkörper dieselbe Winkelgeschwindigkeit \(\omega = \omega_1=\omega_2\) haben, gilt:

\[\begin{split}v_A&=3 h \omega \\ v_D&=h \omega\end{split}\]

Und darum ist:

\[v_D=\tfrac13 v_A\]

6. Winkelgeschwindigkeit von Körper 2

Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit \(\omega_2\) in \(\tfrac{1}{\mathrm s}\) (1 durch Sekunde) gerundet auf Rundestellenwert \(0.01\) für:

\[\begin{split}v_A &= 5\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ h &= 1\,\mathrm m\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}v_A&=3 h \omega_2 \\ \omega_2 &= \tfrac{v_A}{3 h}\\ &= \tfrac{5\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}}{3\,\mathrm m} \\ &\approx 1.67 \,\tfrac{1}{\mathrm s}\end{split}\]