3.3.G

Tags: Video, Simulation

Video

Simulation

Handschriftliche Lösung

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Seite 1


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Seite 2

SymPy

  1. Copy: Source Code (siehe unten) aufklappen und kopieren.

  2. Paste: Einfügen als Python-Notebook z.B. auf:

  3. Play: Ausführen.

Source Code

# -*- coding: utf-8 -*-
from sympy import *

a = var("a", positive=True)
w1 = var("ω₁")

# Equations (1) to (4):
# Shortcut:
xi = sqrt(15)/2
# Unknowns:
vB, vC = var("vʙ, vᴄ")
w2, w3 = var("ω₂, ω₃")

eq1 = Eq(   vB       ,   w1*a        )
eq2 = Eq(   vC       ,   w3*2*a      )
eq3 = Eq( - vC * xi/2, - w2*xi*a     )
eq4 = Eq( - vC / 4   , - vB + w2/2*a )

unks = [vB, vC, w2, w3]
eqns = [eq1, eq2, eq3, eq4]

print("\nEqns. (1)-(4):")
sol = solve(eqns, unks)
for s in sol:
    pprint("\n")
    tmp = str(s)+":"
    pprint(tmp)
    pprint(sol[s])

# Equations (5) to (10):
# Shortcuts
w2, w3 = sol[w2], sol[w3]
xi2, xi3 = w2*w2, w3*w3

# Unknowns:
aBx, aBy = var("aʙx, aʙy")
aCx, aCy = var("aᴄx, aᴄy")
w2p, w3p = var("ω₂', ω₃'")

eq5  = Eq( aBx, -w1*w1*a                   )
eq6  = Eq( aBy, 0                          )
eq7  = Eq( aCx,     - w3p*xi*a + xi3*a/2   )
eq8  = Eq( aCy,     - w3p*a/2  - xi3*xi*a  )
eq9  = Eq( aCx, aBx - w2p*xi*a - xi2*a/2   )
eq10 = Eq( aCy, aBy + w2p*a/2  - xi2*xi*a  )

unks = [aBx, aBy, aCx, aCy, w2p, w3p]
eqns = [eq5, eq6, eq7, eq8, eq9, eq10]

print("\nEqns. (5)-(10):")
sol = solve(eqns, unks)
for s in sol:
    pprint("\n")
    tmp = str(s)+":"
    pprint(tmp)
    pprint(sol[s])

pprint("\n")

  • Lieber mit eigenem SymPy und offline? Es gibt z.B. Anaconda und Miniconda.

  • Statt SymPy lieber anderes CAS? Auswahl hier.

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Es geht um ein bewegliches System, das aus drei Starrkörpern besteht. Im betrachteten Zeitpunkt ist das System in der dargestellten Lage.

Gegebene Symbole: \(a, \omega_1, \dot \omega_1 = 0\)

Die Zählrichtungen der Winkelgeschwindigkeiten sind festgelegt als:

  • \(\omega_1\): Winkelgeschwindigkeit von 1, Zählrichtung \(\circlearrowright\)

  • \(\omega_2\): Winkelgeschwindigkeit von 2, Zählrichtung \(\circlearrowleft\)

  • \(\omega_3\): Winkelgeschwindigkeit von 3, Zählrichtung \(\circlearrowleft\)

Untersuchen Sie die Bewegung. Gehen Sie wie folgt vor.

1. Momentanpole

Kennzeichnen Sie die Positionen der Momentanpole der Starrkörper 1, 2 und 3:

Lösung

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Starrkörper

Momentanpol

1

A

2

D

3

D

Details

  • Der MP von 1 ist bei A, weil 1 bei A drehbar gelagert (angepinnt) ist.

  • Der MP von 3 ist bei D, weil 3 bei D drehbar gelagert (angepinnt) ist.

  • Der MP von 2 wird berechnet aus den Richtungen der Geschwindigkeiten zweier verschiedener Teilchen auf 2. Diese Teilchen sind:

    1. ein Teilchen bei B und

    2. ein Teilchen bei C.

    Zu 1. zeichnet man eine Gerade bei B, die senkrecht ist zur Geschwindigkeitsrichtung des Teilchens bei B ist. Und zu 2. zeichnet man eine Gerade bei C, die senkrecht ist zur Geschwindigkeitsrichtung des Teilchens bei C. Diese beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt - nämlich in D. Und darum ist D der MP von 2.

  • Der gekrümmte Pfeil für \(\omega_3\) und \(\omega_2\) ist bei D eingetragen, weil D Momentanpol beider Starrkörper ist.

2. Starrkörper: 4 Unbekannte

Vektoren Winkelbeschleunigungsvektor und Winkelbeschleunigungsvektor:

Körper

Winkelgeschwindigkeitsvektor

Winkelbeschleunigungsvektor

1

\(\boldsymbol \omega_1\)

\(\dot{\boldsymbol \omega_1}\)

2

\(\boldsymbol \omega_2\)

\(\dot{\boldsymbol \omega_2}\)

3

\(\boldsymbol \omega_3\)

\(\dot{\boldsymbol \omega_3}\)

Komponenten dieser Vektoren:

Körper

Winkelgeschwindigkeitsvektor-Komp.

Winkelbeschleunigungsvektor-Komp.

1

\(\left(\omega_{1x}, \omega_{1y}, \omega_{1z}\right)\)

\(\left(\dot{\omega_{1x}}, \dot{\omega_{1y}}, \dot{\omega_{1z}}\right)\)

2

\(\left(\omega_{2x}, \omega_{2y}, \omega_{2z}\right)\)

\(\left(\dot{\omega_{2x}}, \dot{\omega_{2y}}, \dot{\omega_{2z}}\right)\)

3

\(\left(\omega_{3x}, \omega_{3y}, \omega_{3z}\right)\)

\(\left(\dot{\omega_{3x}}, \dot{\omega_{3y}}, \dot{\omega_{3z}}\right)\)

Für jeden Körper gibt es formal 6 Vektor-Komponenten: 3 für die Winkelgeschwindigkeit und 3 für die Winkelbeschleunigung. In 2D sind aber jeweils zwei Komponenten Null. Und für die jeweils dritte (hier die \(z\)-Komponente) wird:

  • mit einem Pfeil die Zählrichtung definiert und

  • eine Bezeichnung definiert (hier \(\omega_1, \omega_2, \omega_3\) bzw. \(\dot \omega_1, \dot \omega_2, \dot \omega_3\)).

Tragen Sie die fehlenden Werte ein:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \omega_{1x}\\ \omega_{1y}\\ \omega_{1z} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -\omega_1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \dot{\omega_{1x}}\\ \dot{\omega_{1y}}\\ \dot{\omega_{1z}} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \omega_{2x}\\ \omega_{2y}\\ \omega_{2z} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{bmatrix} \dot{\omega_{2x}} \\ \dot{\omega_{2y}} \\ \dot{\omega_{2z}} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \ldots \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \omega_{3x}\\ \omega_{3y}\\ \omega_{3z} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \dot{\omega_{3x}}\\ \dot{\omega_{3y}}\\ \dot{\omega_{3z}} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

Und notieren Sie die vier Unbekannten, die berechnet werden müssen.

Lösung

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\[\begin{split}\begin{bmatrix} \omega_{1x}\\ \omega_{1y}\\ \omega_{1z} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -\omega_1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \dot{\omega_{1x}}\\ \dot{\omega_{1y}}\\ \dot{\omega_{1z}} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \omega_{2x}\\ \omega_{2y}\\ \omega_{2z} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \dot{\omega_{2x}}\\ \dot{\omega_{2y}}\\ \dot{\omega_{2z}} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\omega_2} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \omega_{3x}\\ \omega_{3y}\\ \omega_{3z} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \dot{\omega_{3x}}\\ \dot{\omega_{3y}}\\ \dot{\omega_{3z}} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\omega_3} \end{bmatrix}\end{split}\]

Körper: 4 unbekannte Komponenten

  • \(\left(\omega_2, \dot{\omega_2}\right)\)

  • \(\left(\omega_3, \dot{\omega_3}\right)\)

3. Teilchen: 8 Unbekannte

Teilchen

Geschwindigkeitsvektor

Beschleunigungsvektor

A

\(\boldsymbol v_A\)

\(\boldsymbol a_A\)

B

\(\boldsymbol v_B\)

\(\boldsymbol a_B\)

C

\(\boldsymbol v_C\)

\(\boldsymbol a_C\)

D

\(\boldsymbol v_D\)

\(\boldsymbol a_D\)

Teilchen

Geschwindigkeitsvektor-Komp.

Beschleunigungsvektor-Komp.

A

\(\left(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az}\right)\)

\(\left(a_{Ax}, a_{Ay}, a_{Az}\right)\)

B

\(\left(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz}\right)\)

\(\left(a_{Bx}, a_{By}, a_{Bz}\right)\)

C

\(\left(v_{Cx}, v_{Cy}, v_{Cz}\right)\)

\(\left(a_{Cx}, a_{Cy}, a_{Cz}\right)\)

D

\(\left(v_{Dx}, v_{Dy}, v_{Dz}\right)\)

\(\left(a_{Dx}, a_{Dy}, a_{Dz}\right)\)

Die \(z\)-Komponenten aller Vektoren Null. Und Teilchen bei A und B sind angepinnt, so dass deren Geschwindigkeit und Beschleunigung gleich Null ist. Es bleiben die Teilchen B und C. Da es hier um eine Bewegung in der \((x,y)\)-Ebene gibt, sind alle \(z\)-Komponenten gleich Null,

Es bleiben acht Symbole, die berechnet werden müssen - bzw. ausgedrückt abhängig von den gegebenen Symbolen. Geben Sie diese acht Unbekannten an.

Lösung

Teilchen

Geschwindigkeitsvektor-Komp.

Beschleunigungsvektor-Komp.

A

\(\left(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az}\right)=\left(0,0,0\right)\)

\(\left(a_{Ax}, a_{Ay}, a_{Az}\right)=\left(0,0,0\right)\)

B

\(\left(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz}\right)=\left(v_{Bx},v_{By},0\right)\)

\(\left(a_{Bx}, a_{By}, a_{Bz}\right)=\left(a_{Bx},a_{By},0\right)\)

C

\(\left(v_{Cx}, v_{Cy}, v_{Cz}\right)=\left(v_{Cx},v_{Cy},0\right)\)

\(\left(a_{Cx}, a_{Cy}, a_{Cz}\right)=\left(a_{Cx}, a_{Cy},0\right)\)

D

\(\left(v_{Dx}, v_{Dy}, v_{Dz}\right)=\left(0,0,0\right)\)

\(\left(a_{Dx}, a_{Dy}, a_{Dz}\right)=\left(0,0,0\right)\)

Teilchen: 8 unbekannte Komponenten

  • \(\left(v_{Bx}, v_{By}\right), \left(a_{Bx}, a_{By}\right)\)

  • \(\left(v_{Cx}, v_{Cy}\right), \left(a_{Cx}, a_{Cy}\right)\)

Insgesamt gibt es 12 Unbekannte. Und ab hier werden diese 12 Unbekannten berechnet:

  • Winkelgeschwindigkeiten und Geschwindigkeiten: \(\omega_2, \omega_3, \left(v_{Bx}, v_{By}\right), \left(v_{Cx}, v_{Cy}\right)\)

  • Winkelbeschleunigungen und Beschleunigungen: \(\dot{\omega_2}, \dot{\omega_3}, \left(a_{Bx}, a_{By}\right), \left(a_{Cx}, a_{Cy}\right)\)

4. \(\left(v_{Bx}, v_{By}\right)\) und \(\left(a_{Bx}, a_{By}\right)\)

Verwenden Sie die Formeln aus Starrkörperkinematik 2D für Starrkörper 1, um die \((x,y,z)\)-Komponenten des Geschwindigkeitsvektors und Beschleunigungsvektors eines Teilchens bei B zu berechnen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Bx} \\ v_{By} \\ v_{Bz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \\ 0 \end{bmatrix} \quad,\quad \begin{bmatrix} a_{Bx} \\ a_{By} \\ a_{Bz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

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Körper

Winkelgeschwindigkeit

Teilchen 1

Teilchen 2

1

\(\boldsymbol \omega_1\)

A

B

\[\begin{split}\boldsymbol v_B &= \boldsymbol v_A + \boldsymbol \omega_1 \times \boldsymbol d_{AB} \\ \boldsymbol a_B &= \boldsymbol a_A + \dot{\boldsymbol \omega_1} \times \boldsymbol d_{AB} + \boldsymbol\omega_1 \times \left(\boldsymbol\omega_1 \times \boldsymbol d_{AB}\right)\end{split}\]

Laut Aufgabenstellung ist \(\boldsymbol v_A= \boldsymbol a_A=\dot{\boldsymbol \omega_1}= \boldsymbol 0\). Außerdem ist \(v_{Bz}=a_{Bz}=0\) sowie:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} d_{ABx} \\ d_{ABy} \\ d_{ABz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Dies führt auf:

\begin{align*} \begin{bmatrix} v_{Bx} \\ v_{By} \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -\omega_1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \tag{1a} \\ &= \begin{bmatrix} 0\\ -a \omega_1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \tag{1a'} \\ \\ \begin{bmatrix} a_{Bx} \\ a_{By} \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -\omega_1 \end{bmatrix} \times \left\{ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -\omega_1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right\} \tag{1b} \\ &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -\omega_1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0\\ -a \omega_1 \\ 0\\ \end{bmatrix} \tag{1b'} \\ &= \begin{bmatrix} -a\omega_1^2 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} \tag{1b''} \end{align*}
  • Die ersten beiden Zeilen von (1a) sind zwei Gleichungen zur Berechnung der zwei Unbekannten \(v_{Bx}, v_{By}\).

  • Die ersten beiden Zeilen von (1b) sind zwei Gleichungen zur Berechnung der zwei Unbekannten \(a_{Bx}, a_{By}\).

Umformen und Auflösen nach den Unbekannten führt auf:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Bx} \\ v_{By} \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ - a \omega_1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad,\quad \begin{bmatrix} a_{Bx} \\ a_{By} \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - a \omega_1^2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Ab hier ist die Geschwindigkeit und Beschleunigung von B bekannt.

Verbleibende 8 unbekannte Komponenten:

  • Winkelgeschwindigkeiten und Geschwindigkeiten: \(\omega_2, \omega_3, \left(v_{Cx}, v_{Cy}\right)\)

  • Winkelbeschleunigungen und Beschleunigungen: \(\dot{\omega_2}, \dot{\omega_3}, \left(a_{Cx}, a_{Cy}\right)\)

5. Berechnung der verbleibenden Unbekannten

Verwenden Sie die Formeln aus Starrkörperkinematik 2D für Starrkörper 2 und 3. Berechnen Sie Geschwindigkeit und Beschleunigung von C und die Winkelgeschwindigkeiten und Winkelbeschleunigungen der Starrkörper 2 und 3.

Lösung

../../../_images/3.3.G_1.png

Körper

Winkelgeschwindigkeit

Teilchen 1

Teilchen 2

2

\(\boldsymbol \omega_2\)

B

C

3

\(\boldsymbol \omega_3\)

D

C

\[\begin{split}\boldsymbol v_C &= \boldsymbol v_B + \boldsymbol \omega_2 \times \boldsymbol d_{BC} \\ \boldsymbol a_C &= \boldsymbol a_B + \dot{\boldsymbol \omega_2} \times \boldsymbol d_{BC} + \boldsymbol\omega_2 \times \left(\boldsymbol\omega_2 \times \boldsymbol d_{BC}\right) \\ \boldsymbol v_C &= \boldsymbol v_D + \boldsymbol \omega_3 \times \boldsymbol d_{DC} \\ \boldsymbol a_C &= \boldsymbol a_D + \dot{\boldsymbol \omega_3} \times \boldsymbol d_{DC} + \boldsymbol\omega_3 \times \left(\boldsymbol\omega_3 \times \boldsymbol d_{DC}\right)\end{split}\]

Laut Aufgabenstellung ist \(\boldsymbol v_B, \boldsymbol a_B, \boldsymbol v_D=\boldsymbol a_D=\boldsymbol 0\). Außerdem ist:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} d_{BCx} \\ d_{BCy} \\ d_{BCz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tfrac12 a \\ h \\ 0 \end{bmatrix} \quad,\quad \begin{bmatrix} d_{DCx} \\ d_{DCy} \\ d_{DCz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \tfrac12 a \\ h \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

wobei als Abkürzung definiert wurde:

\[\begin{split}h &= \sqrt{(2a)^2 - (\tfrac12 a)^2} \\ &= a \sqrt{\tfrac{15}{4}} \\ &= \tfrac{a}{2} \sqrt{15}\end{split}\]

Einsetzen liefert:

\begin{align*} \begin{bmatrix} v_{Cx} \\ v_{Cy} \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ - a \omega_1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \tfrac12 a \\ h \\ 0 \end{bmatrix} \tag{2a} \\ \begin{bmatrix} a_{Cx} \\ a_{Cy} \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - a \omega_1^2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\omega_2} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \tfrac12 a \\ h \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_2 \end{bmatrix} \times \left\{ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \tfrac12 a \\ h \\ 0 \end{bmatrix} \right\} \tag{2b} \\ \\ \begin{bmatrix} v_{Cx} \\ v_{Cy} \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} - \tfrac12 a \\ h \\ 0 \end{bmatrix} \tag{3a} \\ \begin{bmatrix} a_{Cx} \\ a_{Cy} \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\omega_3} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} - \tfrac12 a \\ h \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_3 \end{bmatrix} \times \left\{ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -\tfrac12 a \\ h \\ 0 \end{bmatrix} \right\} \tag{3b} \end{align*}

Die jeweils ersten beiden Zeilen von (2a) und (3a) sind vier Gleichungen zur Berechnung der vier Unbekannten Winkelgeschwindigkeiten und Geschwindigkeiten \(\omega_2, \omega_3, \left(v_{Cx}, v_{Cy}\right)\). Umformen dieser Gleichungen führt auf:

\begin{align*} \begin{bmatrix} v_{Cx} \\ v_{Cy} \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ - a \omega_1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} - h \omega_2\\ \tfrac a 2 \omega_2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \tag{2a'} \\ &= \begin{bmatrix} - h \omega_2\\ - a \omega_1 + \tfrac a 2 \omega_2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \tag{2a''} \\ \\ \begin{bmatrix} v_{Cx} \\ v_{Cy} \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - h \omega_3\\ - \tfrac a 2 \omega_3\\ 0\\ \end{bmatrix} \tag{3a'} \end{align*}

Auflösen nach den 4 Unbekannten führt auf:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Cx} \\ v_{Cy} \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - \frac{a \omega_{1}}{2} \sqrt{15}\\ - \frac{a \omega_{1}}{2}\\ 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}0\\0\\\omega_{1}\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}0\\0\\\omega_{1}\end{bmatrix}\end{split}\]

Details

Lösung von Hand:

  1. \(v_{Cx}\) und \(v_{Cy}\) eliminieren durch Gleichsetzen von (2a‘‘) und (3a‘) führt auf:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} - h \omega_2\\ - a \omega_1 + \tfrac a 2 \omega_2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - h \omega_3\\ - \tfrac a 2 \omega_3\\ 0\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

    Umformen führt auf zwei Gleichungen, aus denen man sehr leicht \(\omega_2\) und \(\omega_3\) berechnen kann. Ohne die dritte Zeile ergibt das:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} - \omega_2\\ - \omega_1 + \tfrac 1 2 \omega_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \omega_3\\ - \tfrac 1 2 \omega_3\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

    so dass die Lösung ist:

    \[\begin{split}\omega_2 &= \omega_1 \\ \omega_3 &= \omega_1\end{split}\]
  2. Und damit lassen sich leicht \(v_{Cx}\) und \(v_{Cy}\) berechnen.

Die jeweils ersten beiden von (2b) und (3b) sind vier Gleichungen zur Berechnung der vier unbekannten Winkelbeschleunigungen und Beschleunigungen \(\dot{\omega_{2}}, \dot{\omega_{3}}, \left(a_{Cx}, a_{Cy}\right)\). Umformen und Auflösen nach den Unbekannten liefert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_{Cx} \\ a_{Cy} \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - \frac{a \omega_{1}^{2}}{2}\\ - \frac{17 a}{30} \sqrt{15} \omega_{1}^{2}\\ 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\omega_2} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}0\\0\\- \tfrac{2 \sqrt{15}}{15} \omega_{1}^{2}\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\omega_3} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}0\\0\\\tfrac{2 \sqrt{15}}{15} \omega_{1}^{2}\end{bmatrix}\end{split}\]

Details

Lösung von Hand:

(2b) und (3b) sind 4 Gleichungen zur Berechnung der vier Unbekannten \(\dot{\omega_{2}}, \dot{\omega_{3}}, \left(a_{Cx}, a_{Cy}\right)\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_{Cx}\\a_{Cy}\\0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - \frac{a \dot{\omega_{2}}}{2} \sqrt{15} - \frac{3 a}{2} \omega_{1}^{2}\\\frac{a \dot{\omega_{2}}}{2} - \frac{\sqrt{15} a}{2} \omega_{1}^{2}\\0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a_{Cx}\\a_{Cy}\\0\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - \frac{a \dot{\omega_{3}}}{2} \sqrt{15} + \frac{a \omega_{1}^{2}}{2}\\- \frac{a \dot{\omega_{3}}}{2} - \frac{\sqrt{15} a}{2} \omega_{1}^{2}\\0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Eliminieren von \(a_{Cx}\) und \(a_{Cy}\) 2 liefert Gleichungen zur Berechnung der 2 Unbekannten \(\dot{\omega_{2}}, \dot{\omega_{3}}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} - \frac{a \dot{\omega_{2}}}{2} \sqrt{15} - \frac{3 a}{2} \omega_{1}^{2}\\\frac{a \dot{\omega_{2}}}{2} - \frac{\sqrt{15} a}{2} \omega_{1}^{2}\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \frac{a \dot{\omega_{3}}}{2} \sqrt{15} + \frac{a \omega_{1}^{2}}{2}\\- \frac{a \dot{\omega_{3}}}{2} - \frac{\sqrt{15} a}{2} \omega_{1}^{2}\\0 \end{bmatrix}\end{split}\]

6. Ergebnis für gegebene Größen

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten der Geschwindigkeit eines Teilchens bei C für folgende Größen:

\[\begin{split}a &= 1 \, \mathrm{m} \\ \omega_1 &= \tfrac{\pi}{\mathrm{s}} \\ &= \tfrac{180^\circ}{\mathrm{s}} \\\end{split}\]

Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\), und zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Cx} \\ v_{Cy} \\ 0 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} -6{,}08 \\ -1{,}57 \\0\end{bmatrix} \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen der gegebenen Größen liefert die angegebenen Geschwindigkeitskomponenten.

SymPy

  1. Copy: Source Code (siehe unten) aufklappen und kopieren.

  2. Paste: Einfügen als Python-Notebook z.B. auf:

  3. Play: Ausführen.

Source Code

# -*- coding: utf-8 -*-
from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(k, M, G ) = ( 10**3, 10**6, 10**9 )
(mm, cm) = ( m/1000, m/100 )
Newton = kg*m/s**2
Pa     = Newton/m**2
MPa    = M*Pa
GPa    = G*Pa
kN     = k*Newton
deg    = pi/180
half = S(1)/2

# Rounding:
import decimal
from decimal import Decimal as DX
from copy import deepcopy
def iso_round(obj, pv, rounding=decimal.ROUND_HALF_EVEN):
    import sympy
    """
    Rounding acc. to DIN EN ISO 80000-1:2013-08
    place value = Rundestellenwert
    """
    assert pv in set([
        # place value   #  round to:
        1,              #  1
        0.1,            #  1st digit after decimal
        0.01,           #  2nd
        0.001,          #  3rd
        0.0001,         #  4th
        0.00001,        #  5th
        0.000001,       #  6th
        0.0000001,      #  7th
        0.00000001,     #  8th
        0.000000001,    #  9th
        0.0000000001,   # 10th
        ])
    objc = deepcopy(obj)
    try:
        tmp = DX(str(float(objc)))
        objc = tmp.quantize(DX(str(pv)), rounding=rounding)
    except:
        for i in range(len(objc)):
            tmp = DX(str(float(objc[i])))
            objc[i] = tmp.quantize(DX(str(pv)), rounding=rounding)
    return objc

a = var("a", positive=True)
w1 = var("omega1")

w2z, w3z = var("w2z, w3z")
a1z, a2z, a3z = var("a1z, alpha2, alpha3")
vBx, vBy = var("vBx, vBy")
aBx, aBy = var("aBx, aBy")
vCx, vCy = var("vCx, vCy")
aCx, aCy = var("aCx, aCy")

sub_list=[
    (a, 1 *m),
    (w1, pi / s),
]

w1 = Matrix([0,0,-w1])
w2 = Matrix([0,0, w2z])
w3 = Matrix([0,0, w3z])

a1 = Matrix([0, 0, 0])
a2 = Matrix([0,0,a2z])
a3 = Matrix([0,0,a3z])

vA = Matrix([0, 0, 0])
aA = Matrix([0, 0, 0])
vB = Matrix([vBx, vBy, 0])
aB = Matrix([aBx, aBy, 0])
vC = Matrix([vCx, vCy, 0])
aC = Matrix([aCx, aCy, 0])
vD = Matrix([0, 0, 0])
aD = Matrix([0, 0, 0])

dAB = Matrix([a, 0, 0])
h = sqrt( (2*a)**2 - (a/2)**2 )
dBC = Matrix([ a/2, h, 0])
dDC = Matrix([-a/2, h, 0])

pprint("\nvB and aB:")
eq1a = Eq( vB, vA + w1.cross(dAB) )
eq1b = Eq( aB, aA + a1.cross(dAB)  + w1.cross(w1.cross(dAB)) )
sol = solve([eq1a, eq1b], [vBx, vBy, aBx, aBy])
vBx, vBy = sol[vBx], sol[vBy]
aBx, aBy = sol[aBx], sol[aBy]
vB = Matrix([vBx, vBy, 0])
aB = Matrix([aBx, aBy, 0])
pprint(vB)
pprint(aB)

pprint("\nvC aC, w2, w3:")
eq2a = Eq( vC, vB + w2.cross(dBC) )
eq3a = Eq( vC, vD + w3.cross(dDC) )
a
sol = solve([eq2a, eq3a], [vCx, vCy, w2z, w3z], dict=True)
sol = sol[0]
pprint(sol)
vCx, vCy = sol[vCx], sol[vCy]
w2z, w3z = sol[w2z], sol[w3z]
vC = Matrix([vCx, vCy, 0])
w2 = Matrix([0,0, w2z])
w3 = Matrix([0,0, w3z])

eq2b = Eq( aC, aB + a2.cross(dBC)  + w2.cross(w2.cross(dBC)) )
eq3b = Eq( aC, aD + a3.cross(dDC)  + w3.cross(w3.cross(dDC)) )

pprint("\n(2b):")
pprint(eq2b)
# pprint(latex(eq2b,**kwargs))
pprint("\n(3b):")
pprint(eq3b)
# pprint(latex(eq3b,**kwargs))


sol = solve([eq2b, eq3b], [aCx, aCy, a2z, a3z], dict=True)
sol = sol[0]
pprint(sol)
aCx, aCy = sol[aCx], sol[aCy]
a2z, a3z = sol[a2z], sol[a3z]

aC = Matrix([aCx, aCy, 0])
a2 = Matrix([0,0,a2z])
a3 = Matrix([0,0,a3z])
pprint(vC)
pprint(aC)

pprint(w2)
pprint(w3)
pprint("\na2 and a3:")
pprint(a2)
pprint(a3)

pprint("\nvC / (m/s):")
tmp = vC.subs(sub_list)
tmp /= m/s
tmp = iso_round(tmp,0.01)
pprint(tmp)

  • Lieber mit eigenem SymPy und offline? Es gibt z.B. Anaconda und Miniconda.

  • Statt SymPy lieber anderes CAS? Auswahl hier.