3.4.E

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Eine Kugel mit Radius \(r\) und Masse \(m\) rollt im Schwerefeld auf einer Kreisbahn hinab. Ihre Bewegung beginnt bei \(\varphi=0\) mit der Geschwindigkeit des Schwerpunkts \(v_0\).

Gegebene Symbole: \(m, R, r, v_0, g\)

Davon abhängig gegeben ist das Massenträgheitsmoment der Kugel bezüglich Schwerpunkt \(S\):

\[\Theta =\tfrac25 m r^2\]

Untersuchen Sie die Bewegung. Gehen Sie wie folgt vor.

1. Winkelgeschwindigkeit

Berechnen Sie für die gegebenen Symbole:

  • die Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\) zu Beginn für Schwerpunktgeschwindigkeit \(v_0\) und

  • die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) zu beliebigem Zeitpunkt für Geschwindigkeit \(v\).

\[\omega_0 = \dots \quad,\quad \omega = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}\omega_0 &= \tfrac{v_0}{r} \\ \omega &= \tfrac{v}{r}\end{split}\]

2. Energien

Berechnen Sie folgende Energien für die gegebenen Symbole:

  • \(E_0 = E_{\mathsf{kin},0} + E_{\mathsf{pot},0}\): Energie der Kugel bei \(\varphi=0\) und Geschwindigkeit \(v_0\).

  • \(E=E_{\mathsf{kin}} + E_{\mathsf{pot}}\): Energie bei beliebigem Winkel \(\varphi\) und Geschwindigkeit \(v\).

Lösung

\[\begin{split}E_{\mathsf{kin},0} &= \tfrac{1}{2} m {v_0}^2 + \tfrac{1}{2} \Theta {\omega_0}^2 \\ E_{\mathsf{pot},0} &= mg(R+r) \\ E_{\mathsf{kin}} &= \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2} \Theta \omega^2 \\ E_{\mathsf{pot}} &= mg(R+r)\cos{\varphi}\end{split}\]

3. Energiesatz

Berechnen Sie mit dem Energiesatz die Geschwindigkeit \(v\) bzw. \(v^2\) abhängig von \(\varphi\) und abhängig von den gegebenen Symbolen.

\[v^2(\varphi) = \dots\]

Lösung

Energiesatz:

\[\begin{split}E_0 &= E \\ E_{\mathsf{kin},0} + E_{\mathsf{pot},0} &= E_{\mathsf{kin}} + E_{\mathsf{pot}} \\ \tfrac{1}{2} m {v_0}^2 + \tfrac{1}{2} \Theta {\omega_0}^2 + mg(R+r) &= \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2} \Theta \omega^2 + mg(R+r)\cos{\varphi}\end{split}\]

Einsetzen von \(\omega_0\), \(\omega\) und dem gegebenen \(\Theta\) liefert:

\[v^2 = {v_0}^2 + \tfrac{10}{7}g(R+r)(1- \cos{\varphi})\]

4. Schwerpunkt-Beschleunigung

Der Ortsvektor zum Schwerpunkt ist:

\[\boldsymbol{r_S} = (R+r) \boldsymbol e_R\]

Zeigen Sie, dass die Beschleunigung des Schwerpunkts ist:

\[\boldsymbol a = - (R+r) \dot{\varphi}^2 \boldsymbol e_R + (R+r) \ddot \varphi \boldsymbol e_\varphi\]

Lösung

Beschleunigung des Schwerpunkts, der sich auf einer Kreisbahn mit Radius \(R+r\) bewegt:

\[\begin{split}\boldsymbol{r_S} &= (R+r) \boldsymbol e_R\\ \boldsymbol{v} &= (R+r) \dot{\varphi} \boldsymbol e_\varphi \\ \boldsymbol a &= \underbrace{-(R+r) \dot{\varphi}^2}_{a_R} \boldsymbol e_R + \underbrace{(R+r) \ddot \varphi}_{a_\varphi} \boldsymbol e_\varphi\end{split}\]

5. Normalkraft

Betrachten Sie ab hier den Fall, dass die Anfangsgeschwindigkeit Null ist, also \(v_0=0\).

Schneiden Sie die Kugel frei. Und berechnen Sie die Normalkraft \(N\) zwischen Kugel und Kreisbahn abhängig von \(\varphi\) - mit dem Schwerpunktsatz und für die gegebenen Symbole. Zeigen Sie, dass:

\[N = mg\left(\tfrac{17}{7} \cos{\varphi} - \tfrac{10}{7}\right)\]

Berechnen Sie \(N\) in \(\mathrm{N}\) (Newton) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\) für \(\varphi=45^\circ\) und für die Größen:

\[m = 5\,\mathrm{kg}\quad,\quad g = 9{,}81 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm s^2}\]

Lösung

../../../_images/3.4.E_1.png

Die Beschleunigung des Schwerpunkts in \(\boldsymbol e_R\)-Richtung ist:

\[\begin{split}a_R &= -(R+r) \dot{\varphi}^2 \\ &= -(R+r) \tfrac{v^2}{(R+r)^2} \\ &= - \tfrac{v^2}{R+r}\end{split}\]

Einsetzen dieser Beschleunigung in den Schwerpunktsatz in \(\boldsymbol e_R\)-Richtung:

\[\begin{split}ma_R &= N - mg \cos{\varphi}\\ -m \tfrac{v^2}{R+r} &= N - mg \cos{\varphi}\\ N &= mg \cos{\varphi} -m \tfrac{v^2}{R+r}\end{split}\]

Einsetzen von \(v^2\) wie oben berechnet sowie \(v_0=0\) ergibt:

\[\begin{split}N &= mg\left( \cos{\varphi} - \tfrac{10}{7}(1- \cos{\varphi})\right)\\ &= mg\left(\tfrac{17}{7} \cos{\varphi} - \tfrac{10}{7}\right)\end{split}\]

Einsetzen von \(\varphi=45^\circ\) und den gegebenen Größen ergibt:

\[N \stackrel{0{,}1}{\approx} 14{,}2\,\mathrm{N}\]

6. Abhebe-Winkel

Berechnen Sie den Winkel \(\varphi^*\), für den die Kugel abhebt, in \(^\circ\) (Grad) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\):

\[\varphi^*\stackrel{0{,}1}{\approx} \dots^\circ\]

Lösung

Die Kugel hebt ab für \(N=0\), so dass:

\[\begin{split}\tfrac{17}{7} \cos{\varphi^*} - \tfrac{10}{7}&= 0\\ \cos \varphi^* - \tfrac{10}{17}&=0\\ \varphi^* &\stackrel{0{,}1}{\approx} 54{,}0^\circ\end{split}\]
Bokeh Plot

SymPy

  1. Copy: Source Code (siehe unten) aufklappen und kopieren.

  2. Paste: Einfügen als Python-Notebook z.B. auf:

  3. Play: Ausführen.

Source Code

# -*- coding: utf-8 -*-
from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(k, M, G ) = ( 10**3, 10**6, 10**9 )
(mm, cm) = ( m/1000, m/100 )
Newton = kg*m/s**2
Pa     = Newton/m**2
MPa    = M*Pa
GPa    = G*Pa
kN     = k*Newton
deg    = pi/180
half = S(1)/2

# Rounding:
import decimal
from decimal import Decimal as DX
from copy import deepcopy
def iso_round(obj, pv,
    rounding=decimal.ROUND_HALF_EVEN):
    import sympy
    """
    Rounding acc. to DIN EN ISO 80000-1:2013-08
    place value = Rundestellenwert
    """
    assert pv in set([
        # round to place value:
        1,
        0.1,
        0.01,
        0.001,
        0.0001,
        0.00001,
        ])
    objc = deepcopy(obj)
    try:
        tmp = DX(str(float(objc)))
        objc = tmp.quantize(DX(str(pv)),
            rounding=rounding)
    except:
        for i in range(len(objc)):
            tmp = DX(str(float(objc[i])))
            objc[i] = tmp.quantize(DX(str(pv)),
                rounding=rounding)
    return objc

# ---

# Given symbols:
g, M, R, r, v0 = var("g, M, R, r, v0")

sub_list=[
    (g, S(981) / 100 *m/s/s),
    (M, 5 *kg),
    (R, 4 *m),
    (r, 1 *m),
    (v0, 0),
    ]

phi = var("phi")

# Moment of Inertia:
Th = 2*M*r*r/5

# v*v:
v2 = var("v2")
phi = var("phi")

pprint("\nv²:")
w0 = v0/r
w = sqrt(v2)/r
lhs = M*v0*v0/2 + Th*w0*w0/2
rhs = M*v2/2 + Th*w*w/2 -M*g*(R+r)*(1-cos(phi))
eq = Eq(lhs,rhs)
sol = solve(eq,v2)
v2 = sol[0]
v2 = v2.simplify()
pprint(v2)

tmp = v2.equals(v0*v0 + 10*g/7*(R+r)*(1-cos(phi)) )
pprint(tmp)

pprint("\nφ / °:")
phis = acos(S(10)/17)
tmp = phis
tmp /= deg
tmp = iso_round(tmp,0.1)
pprint(tmp)

pprint("\nN / N:")
c = cos(phi)
Nf = M*g *  ( S(17)/7*c - S(10)/7)
Nf = Nf.subs(sub_list)
Nf = Nf.subs(phi,45 * deg)
Nf = Nf.simplify()
tmp = Nf
tmp /= Newton
tmp = iso_round(tmp,0.1)
pprint(tmp)
# exit()

from numpy import linspace, maximum, array, cos
from bokeh.plotting import figure, show, output_file, ColumnDataSource
from bokeh.io import export_svgs
from bokeh.layouts import row, column, widgetbox
from bokeh.models import CustomJS, Slider, Legend, Range1d, Title
from bokeh.plotting import figure, output_file, show, ColumnDataSource

pi = float(pi)
def f(x):
    """
    x: Angle in °
    """
    tmp = 17./7.*cos(x*pi/180) - 10./7.
    return tmp

x = linspace(0, 60, 601, endpoint=True)
y = array(list(map(f, x)))

source = ColumnDataSource(data=dict(x=x,y=y))

tooltips = [
    ('φ / °', "@x{0.0}"),
    ('N / (mg)', '@y{0.000}'),
]

xr = Range1d(start=0,end=60)

p = figure(
    plot_width=350,
    plot_height=350,
    x_range = xr,
    x_axis_label="φ / °",
    y_axis_label="N / (mg)",
    tooltips=tooltips,
    toolbar_location=None,
    active_drag=None,
    background_fill_color=None,
    border_fill_color=None,
    sizing_mode="stretch_width"
    )

tmp = p.line('x', 'y', source=source, line_width=2, line_color="red", line_alpha=0.6)

p.add_layout(Title(text='\u00A9 Dr. \x4b\x61\x69\x20\x4b\x61\u00DF\x62\x6f\x68\x6d', align="right", text_font_style="normal", text_font_size="9pt", text_alpha=0.8), "right")

layout = p

path = "/home/kai/A_Sphinx/Teach/tm.tm-tutor.de/source/_static/html/Bokeh/"
fn = path + "TM_3/3.4.E.html"

output_file(fn)
show(layout)

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