Eigenschaften der Transformationen

Periodizität

Die transformierten Komponenten sind gleich für Winkel, die sich um \(180^\circ\) unterscheiden:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} (\varphi + 180^\circ) &= \begin{bmatrix} c_{\varphi+180^\circ} & s_{\varphi+180^\circ} \\ -s_{\varphi+180^\circ} & c_{\varphi+180^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{\varphi+180^\circ} & -s_{\varphi+180^\circ} \\ s_{\varphi+180^\circ} & c_{\varphi+180^\circ} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -c_{\varphi} & -s_{\varphi} \\ s_{\varphi} & -c_{\varphi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -c_{\varphi} & s_{\varphi} \\ -s_{\varphi} & -c_{\varphi} \end{bmatrix} \\ &= (-1)\cdot \begin{bmatrix} c_{\varphi} & s_{\varphi} \\ -s_{\varphi} & c_{\varphi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{\varphi} & -s_{\varphi} \\ s_{\varphi} & c_{\varphi} \end{bmatrix} \cdot(-1) \\ &= \begin{bmatrix} c_{\varphi} & s_{\varphi} \\ -s_{\varphi} & c_{\varphi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{\varphi} & -s_{\varphi} \\ s_{\varphi} & c_{\varphi} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} (\varphi)\end{split}\]

Spezielle Winkel

\(\varphi = 0^\circ\) und aufgrund der Periodizität auch \(\varphi = \pm 180^\circ, \pm 360^\circ\) usw.:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{0^\circ} & s_{0^\circ} \\ -s_{0^\circ} & c_{0^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{0^\circ} & -s_{0^\circ} \\ s_{0^\circ} & c_{0^\circ} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} c_{180^\circ} & s_{180^\circ} \\ -s_{180^\circ} & c_{180^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{180^\circ} & -s_{180^\circ} \\ s_{180^\circ} & c_{180^\circ} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix}\end{split}\]

\(\varphi = 90^\circ\) und aufgrund der Periodizität auch \(\varphi = -90^\circ, \pm 270^\circ\) usw.:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{90^\circ} & s_{90^\circ} \\ -s_{90^\circ} & c_{90^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{90^\circ} & -s_{90^\circ} \\ s_{90^\circ} & c_{90^\circ} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xy} & - T_{xx} \\ T_{yy} & - T_{xy} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} T_{yy} & - T_{xy} \\ -T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix}\end{split}\]

\(\varphi = 45^\circ\) und aufgrund der Periodizität auch \(\varphi = -135^\circ, 225^\circ\) usw.:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{T} + T_{xy} & - \tilde T \\ - \tilde T & \bar{T} - T_{xy} \end{bmatrix}\end{split}\]

mit den Abkürzungen \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\) und \(\tilde T = \tfrac 12 \left( T_{xx} - T_{yy}\right)\).

Alternative Darstellungen

Mit den Abkürzungen:

\[\begin{split}\bar{T} &= \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right) \\ \tilde T &= \tfrac12 \left(T_{xx} - T_{yy}\right) \\ r &= \sqrt{ {\tilde T}^2 + {T_{xy}}^2 }\end{split}\]

gilt für 2 der 4 Komponenten aus der passiven Transformation:

\begin{align} \label{eq-trafo_tensor_formulae-1a} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} \\ T_{\bar x \bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} + \tilde T c_{2\varphi} + T_{xy} s_{2\varphi} \\ -\tilde T s_{2\varphi} + T_{xy} c_{2\varphi} \end{bmatrix} \notag\\ &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_{2\varphi} & s_{2\varphi} \\ - s_{2\varphi} & c_{2\varphi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \tag{1a} \end{align}

Interpretation von (1a) in einem Diagramm mit horizontaler \(T_{\bar x \bar x}\)-Achse und vertikaler \(T_{\bar x \bar y}\)-Achse (siehe hierzu Mohrscher Kreis):

  • Alle Punkte mit Punktkoordinaten \((T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x \bar y})\) liegen auf einem Kreis mit Radius \(r\) und Mittelpunkt bei \((\bar{T}, 0 )\).

  • Für vorgegebenen Winkel \(\varphi\) lässt sich der zugehörigen Punkt auf dem Kreis finden. Und die transformierten Komponenten lassen sich als die Punktkoordinaten dieses Punkts ablesen.

  • Die \(180^\circ\)-Periodizität ist erkennbar.

  • (1a) ähnelt sehr stark der Transformation von Vektor-Komponenten:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\end{split}\]