Tensor-Komponenten

Kreis

Details

Die gegebenen Tensor-Komponenten \((T_{xx}, T_{xy}, T_{yy})\) definieren sieben Punkte auf einem Kreis:

Punkt

\((T_{\bar x \bar x} , T_{\bar x \bar y})\)

1

\((T_{xx}, T_{xy})\)

2

\((T_{yy}, -T_{xy})\)

3

\((\bar{T}, 0)\)

4

\((\bar{T} + r, 0)\)

5

\((\bar{T} - r, 0)\)

6

\((\bar{T}, 0 + r)\)

7

\((\bar{T}, 0 - r)\)

wobei:

\[\begin{split}r &= \sqrt{\left\{ \tfrac12 \left(T_{xx}-T_{yy}\right)\right\}^2 +T_{xy}^2} \\ \bar{T} &= \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\end{split}\]

Anleitung

  • Finden Sie Punkt 1 am Ende der roten Linie. Und lesen Sie die Komponenten \((T_{xx}, T_{xy})\) ab als die Punktkoordinaten des Punktes 1 am Ende der durchgezogenen roten Linie.

  • Finden Sie Punkt 2. Und lesen Sie die Komponenten \((T_{yy}, -T_{xy})\) ab als die Punktkoordinaten des Punktes 2.

  • Vergleichen Sie diese Komponenten mit den Komponenten \((T_{xx}, T_{xy}, T_{yy})\) in den grauen Feldern.

  • Ziehen Sie für jedes der vier Bilder das passende graue Feld in die Mitte vom Bild.

Probe:

  • Berechnen Sie den Radius.

  • Prüfen Sie die Punkte 3, 4, 5, 6, 7.

Beispiel: Im ersten Bild links oben liest man ab:

  • Punkt 1 hat die Punktkoordinaten \((-1, 4)\)

  • Punkt 2 hat die Punktkoordinaten \((5, -4)\)

Also ist:

\[(T_{xx}, T_{xy}, T_{yy}) = (-1, 4, 5)\]

Das führt auf \(r=5\) und:

Punkt

\((T_{\bar x \bar x} , T_{\bar x \bar y})\)

1

\((-1, 4)\)

2

\((5, -4)\)

3

\((2, 0)\)

4

\((7, 0)\)

5

\((-3, 0)\)

6

\((2, 5)\)

7

\((2, -5)\)

\(\varphi = \varphi_1 \Leftrightarrow T_{\bar x \bar x}\) maximal

Die Vektor-Komponenten \(T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x \bar y}\) und \(T_{\bar y \bar y}\) sind abhängig von \(\varphi\). Gesucht ist der Winkel \(\varphi=\varphi_1\), so dass die \(T_{\bar x \bar x}\)-Komponente maximal wird.

Details

Anleitung

  • Lesen Sie die Komponenten \((T_{xx}, T_{xy})\) ab als die Punktkoordinaten des Punktes 1 am Ende der durchgezogenen roten Linie.

  • Lesen Sie die Komponenten \((T_{yy}, - T_{xy})\) ab als die Punktkoordinaten des Punktes 2.

  • Berechnen Sie:

    \[\begin{split}r &= \sqrt{\left\{ \tfrac12 \left(T_{xx}-T_{yy}\right)\right\}^2 +T_{xy}^2} \\ \bar{T} &= \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right) \\ T_{\bar x \bar x 2} &= \bar{T} - r\end{split}\]
  • Berechnen Sie \(\varphi_1\) mit:

    \[\varphi_1 = \mathrm{atan}\,\, \frac{T_{xy}}{T_{xx}-T_{\bar x \bar x 2}}\]
  • Finden Sie:

    • \(2\varphi_1\) gezählt im Uhrzeigersinn oder

    • \(-2\varphi_1\) gezählt entgegen dem Uhrzeigersinn

    jeweils gemessen von der durchgezogenen bis zur gestrichelten roten Linie.

  • Ziehen Sie für jedes der vier Bilder das passende graue Feld auf das Bild.

Beispiel: \((T_{xx}, T_{xy}, T_{yy} ) = (-1, 4, 5)\) führt auf:

\[\begin{split}r&=5 \\ \bar{T} &= 2 \\ T_{\bar x \bar x 2} &= -3 \\ \varphi_1&\stackrel{1{,}0}{\approx} 63^\circ\end{split}\]

Bemerkung

Um \(2\varphi_1\) anzugeben im Intervall \(-180^\circ < \varphi_1 \le 180^\circ\), muss man ggf. vom abgelesenen Winkel \(360^\circ\) subtrahieren. Das ändert nichts an der mit \(2\varphi_1\) beschriebenen Winkelposition.

Passive Transformation

Details

Die Tensororkomponenten \(( T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x \bar y} , T_{\bar y\bar y} )\) sind abhängig von \(\varphi\) gemäß:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T}\end{split}\]

mit \(R_\varphi = \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi \\-s_\varphi & c_\varphi\end{bmatrix}\) und \(R_\varphi^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\varphi\).

Es geht darum, die in dieser Formel verwendeten Symbole zu visualisieren.

Anleitung

  • Lesen Sie die Komponenten \((T_{xx}, T_{xy})\) ab als die Punktkoordinaten des Punktes 1 am Ende der durchgezogenen roten Linie.

  • Lesen Sie am Mittelpunkt des Kreise \(\bar T\) ab. Und berechnen Sie \(T_{yy}\) aus \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\) als:

    \[T_{yy}=2 \bar{T} - T_{xx}\]
  • Lesen Sie den Winkel \(2\varphi\) ab - gemessen im Uhrzeigersinn von der roten bis zur rot gestrichtelten Linie. Oder lesen Sie \(\varphi\) ab - gemessen entgegen dem Uhrzeigersinn von der blau gestrichelten bis zur blauen Linie.

  • Berechnen Sie die beiden Komponenten \((T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x \bar y})\) (also zwei der 3 bzw. 4 Tensor-Komponenten).

  • Vergleichen Sie \(\varphi\) und \((T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x \bar y})\) mit den Einträgen auf den grauen Feldern.

  • Ziehen Sie für jedes der vier Bilder das passende graue Feld auf das Bild.

Beispiel: Im ersten Bild links oben liest man ab:

  • \((T_{xx}, T_{xy})= (-1, 4)\) und \(\bar T=2\).

  • Damit: \(T_{yy}=4 - (-1)= 5\)

  • Winkel: \(\varphi=15^\circ\)

Das führt auf:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & \ldots \\ T_{\bar x\bar y} & \ldots \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 1.40 & \ldots \\ 4.96 & \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

Aktive Transformation

Details

Die Tensor-Komponenten \((T'_{xx}, T'_{xy}, T'_{yy})\) sind abhängig von \(\alpha\) gemäß:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ T'_{xy} & T'_{yy} \end{bmatrix} = R_\alpha^{\mathsf T} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\alpha\end{split}\]

mit \(R_\alpha = \begin{bmatrix}c_\alpha & s_\alpha \\-s_\alpha & c_\alpha\end{bmatrix}\) und \(R_\alpha^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\alpha\).

Es geht darum, alle in dieser Formel verwendeten Symbole zu visualisieren.

Anleitung

  • Lesen Sie die Komponenten \((T_{xx}, T_{xy})\) ab als die Punktkoordinaten des Punktes 1 am Ende der durchgezogenen roten Linie. Ermitteln Sie am Kreis außerdem \(T_{yy}\).

  • Lesen Sie den Winkel \(-2\alpha\) ab - gemessen im Uhrzeigersinn von der roten bis zur rot gestrichtelten Linie. Oder lesen Sie \(2\alpha\) ab - gemessen entgegen dem Uhrzeigersinn von der roten bis zur rot gestrichtelten Linie. Damit ist auch \(-\alpha\) bzw. \(\alpha\) bekannt.

  • Berechnen Sie die beiden Komponenten \((T'_{xx}, T'_{xy})\) (also zwei der 3 bzw. 4 Tensor-Komponenten).

  • Vergleichen Sie \(-\alpha\) und \((T'_{xx}, T'_{xy})\) mit den Einträgen auf den grauen Feldern.

  • Ziehen Sie für jedes der vier Bilder das passende graue Feld auf das Bild.

Beispiel: Im ersten Bild links oben liest man ab:

  • \((T_{xx}, T_{xy}, T_{yy}) = (-1, 4, 5)\) und

  • \(-\alpha=15^\circ\).

Das führt auf:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T'_{xx} & \ldots \\ T'_{xy} & \ldots \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 1.40 & \ldots \\ 4.96 & \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

Test