Tensorkomponenten

Seien zwei Bezugssysteme, zwei Tensoren und zwei Winkel definiert:

  • \((x,y)\) und \((\bar x, \bar y)\) sind Rechtssysteme mit gemeinsamer \(z\)-Achse. Die Winkelposition \(\varphi\) (positiv um \(z\) gemessen) zeigt die Orientierung von \((\bar x, \bar y)\) bezüglich \((x,y)\).

  • \(\boldsymbol T\) und \(\boldsymbol T'\) sind Tensoren. Die Winkelposition \(\alpha\) (positiv um \(z\) gemessen) zeigt die Orientierung von \(\boldsymbol T'\) bezüglich \(\boldsymbol T\).

Winkelpositionen

Winkel um \(z\) pos.

zeigt Orient. von

bezüglich

\(\varphi\)

\((\bar x, \bar y)\)

\((x, y)\)

\(\alpha\)

\(\boldsymbol T'\)

\(\boldsymbol T\)

Komponenten-Matrizen

Tensor

\((x,y)\)-Komp.

\((\bar x, \bar y)\)-Komp.

\(\boldsymbol T\)

\(\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix}\)

\(\boldsymbol T'\)

\(\begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ T'_{xy} & T'_{yy} \end{bmatrix}\)

nicht definiert

Transformationsformeln

Komponenten-Umrechnung mit Matrix-Multiplikation

Passive Transformation: 1 Tensor & 2 Bezugssysteme

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T}\end{split}\]

mit \(R_\varphi = \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi \\-s_\varphi & c_\varphi\end{bmatrix}\) und \(R_\varphi^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\varphi\).

Aktive Transformation: 2 Tensoren & 1 Bezugssystem

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ T'_{xy} & T'_{yy} \end{bmatrix} = R_\alpha^{\mathsf T} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\alpha\end{split}\]

mit \(R_\alpha = \begin{bmatrix}c_\alpha & s_\alpha \\-s_\alpha & c_\alpha\end{bmatrix}\) und \(R_\alpha^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\alpha\).

Videos



Web-App

Tensor Transformation

Größen ohne Einheiten

Die verwendeten einheitenlosen Größen sind definiert als die tatsächlichen Größen dividiert durch deren Einheit: Falls gegeben wäre eine Größe mit Einheit \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) (Meter pro Sekunde): Dann wäre die verwendete dimensionslose Größe gleich dieser gegebenen Größe dividiert durch \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\).

Und falls stattdessen gegeben wäre eine Größe mit Einheit \(\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2}\) (Newton pro Quadratmeter): Dann wäre die verwendete dimensionslose Größe gleich dieser gegebenen Größe dividiert durch \(\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2}\).

Verschiedenes

Warum Kreis?

Aus der Transformationsformel folgt die Kreisgleichung:

\[\left\{ T_{\bar x \bar x} - \bar T \right\}^2 + \left\{T_{\bar x \bar y} - 0\right\}^2 =r^2\]

mit den Abkürzungen:

\[\begin{split}\bar{T} &= \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right) \\ r &= \sqrt{\left\{ \tfrac12 \left(T_{xx}-T_{yy}\right)\right\}^2 +T_{xy}^2}\end{split}\]

Aktive Transformation

Passive Transformation mit Winkel \(\varphi\) und aktive Transformation mit Winkel \(\alpha=-\varphi\) führen zu denselben transformierten Komponenten. Mit anderen Worten: Drehung des Bezugssystems nach links ergibt zahlenmäßig dieselben transformierten Komponenten wie Drehung des Tensors nach rechts.

Darstellung ohne Einheiten

Die verwendeten Komponenten könnten definiert werden als die tatsächlichen Komponenten dividiert durch deren Einheit. Dies hat den Vorteil, dass die Einheit in der graphischen Web-App nicht erscheint.

Falls als Tensor z.B. ein Spannungstensor gegeben wäre in der Einheit \(\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2}\) (Newton pro Quadratmeter): Dann wären die in der Web-App verwendeten Komponenten die tatsächlichen Komponenten dividiert durch \(\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2}\).

(y,z) statt (x,y)

Passive Transformation: 1 Tensor & 2 Bezugssysteme

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar y \bar y} & T_{\bar y\bar z} \\ T_{\bar y\bar z} & T_{\bar z\bar z} \end{bmatrix} \! = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{yy} & T_{yz} \\ T_{yz} & T_{zz} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T}\end{split}\]

Aktive Transformation: 2 Tensoren & 1 Bezugssystem

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T'_{yy} & T'_{yz} \\ T'_{yz} & T'_{zz} \end{bmatrix} = R_\alpha^{\mathsf T} \begin{bmatrix} T_{yy} & T_{yz} \\ T_{yz} & T_{zz} \end{bmatrix} R_\alpha\end{split}\]
Tensor Transformation

Hinweis

Beachten Sie, in welcher Richtung die Zahlen größer werden - sowohl auf der horizontalen wie auf der vertikalen Achse.

Programme

  • Open in Colab Transformierte Komponenten, Eigenwerte und -richtungen.

  • Open in Colab Tensor-Komponente in vorgegebener Richtung in 2D.

  • Open in Colab Tensor-Komponente in vorgegebener Richtung in 3D.