Tensor-Komponenten

Passive und aktive Transformation

Für einen Tensor gegeben durch seine \((x,y)\)-Komponenten bezogen auf ein \((x,y)\)-Bezugssystem, lässt sich berechnen:

  1. Die \((\bar x, \bar y)\)-Komponenten desselben Tensors, die sich auf ein \((\bar x, \bar y)\)-System beziehen, welches relativ zum \((x, y)\)-System gedreht ist (Passive Transformation).

  2. Die \((x, y)\)-Komponenten eines zweiten Tensors, der relativ zum ersten Tensor gedreht ist (Aktive Transformation).

../../../_images/mohr.png

Winkel

Winkel

zählt pos. um

zeigt Winkelpos. von

relativ zu

\(\varphi\)

\(z=\bar z\)

\((\bar x, \bar y)\)

\((x, y)\)

\(\alpha\)

\(z=\bar z\)

\(\boldsymbol T'\)

\(\boldsymbol T\)

Komponenten

Tensor

\((x,y)\)-Komp.

\((\bar x, \bar y)\)-Komp.

\(\boldsymbol T\)

\(\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix}\)

\(\boldsymbol T'\)

\(\begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ T'_{xy} & T'_{yy} \end{bmatrix}\)

nicht definiert

Transformation

Passiv oder Aktiv

Passiv = 1 Tensor & 2 Bezugssysteme

\begin{align} \label{eq-trafo_tensor_formulae-1} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T} \tag{1} \end{align}

mit \(R_\varphi = \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi \\-s_\varphi & c_\varphi\end{bmatrix}\) und \(R_\varphi^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\varphi\).

Aktiv = 2 Tensoren & 1 Bezugssystem

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ T'_{xy} & T'_{yy} \end{bmatrix} = R_\alpha^{\mathsf T} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\alpha\end{split}\]

mit \(R_\alpha = \begin{bmatrix}c_\alpha & s_\alpha \\-s_\alpha & c_\alpha\end{bmatrix}\) und \(R_\alpha^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\alpha\).

Passive Transformation mit Winkel \(\varphi\) und aktive Transformation mit Winkel \(\alpha=-\varphi\) führen zu denselben transformierten Komponenten. Mit anderen Worten: Drehung des Bezugssystems nach links ergibt zahlenmäßig dieselben transformierten Komponenten wie Drehung des Tensors nach rechts.

Anmerkungen

Periodizität

Die transformierten Komponenten sind gleich für Winkel, die sich um \(180^\circ\) unterscheiden:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} (\varphi + 180^\circ) &= \begin{bmatrix} c_{\varphi+180^\circ} & s_{\varphi+180^\circ} \\ -s_{\varphi+180^\circ} & c_{\varphi+180^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{\varphi+180^\circ} & -s_{\varphi+180^\circ} \\ s_{\varphi+180^\circ} & c_{\varphi+180^\circ} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -c_{\varphi} & -s_{\varphi} \\ s_{\varphi} & -c_{\varphi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -c_{\varphi} & s_{\varphi} \\ -s_{\varphi} & -c_{\varphi} \end{bmatrix} \\ &= (-1)\cdot \begin{bmatrix} c_{\varphi} & s_{\varphi} \\ -s_{\varphi} & c_{\varphi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{\varphi} & -s_{\varphi} \\ s_{\varphi} & c_{\varphi} \end{bmatrix} \cdot(-1) \\ &= \begin{bmatrix} c_{\varphi} & s_{\varphi} \\ -s_{\varphi} & c_{\varphi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{\varphi} & -s_{\varphi} \\ s_{\varphi} & c_{\varphi} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} (\varphi)\end{split}\]

Spezielle Winkel

\(\varphi = 0^\circ\) und aufgrund der Periodizität auch \(\varphi = \pm 180^\circ, \pm 360^\circ\) usw.:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{0^\circ} & s_{0^\circ} \\ -s_{0^\circ} & c_{0^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{0^\circ} & -s_{0^\circ} \\ s_{0^\circ} & c_{0^\circ} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} c_{180^\circ} & s_{180^\circ} \\ -s_{180^\circ} & c_{180^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{180^\circ} & -s_{180^\circ} \\ s_{180^\circ} & c_{180^\circ} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix}\end{split}\]

\(\varphi = 90^\circ\) und aufgrund der Periodizität auch \(\varphi = -90^\circ, \pm 270^\circ\) usw.:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{90^\circ} & s_{90^\circ} \\ -s_{90^\circ} & c_{90^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{90^\circ} & -s_{90^\circ} \\ s_{90^\circ} & c_{90^\circ} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xy} & - T_{xx} \\ T_{yy} & - T_{xy} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} T_{yy} & - T_{xy} \\ -T_{xy} & T_{xx} \end{bmatrix}\end{split}\]

\(\varphi = 45^\circ\) und aufgrund der Periodizität auch \(\varphi = -135^\circ, 225^\circ\) usw.:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{T} + T_{xy} & - \tilde T \\ - \tilde T & \bar{T} - T_{xy} \end{bmatrix}\end{split}\]

mit den Abkürzungen \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\) und \(\tilde T = \tfrac 12 \left( T_{xx} - T_{yy}\right)\).

Alternative Darstellungen

Mit den Abkürzungen:

\[\begin{split}\bar{T} &= \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right) \\ \tilde T &= \tfrac12 \left(T_{xx} - T_{yy}\right) \\ r &= \sqrt{ {\tilde T}^2 + {T_{xy}}^2 }\end{split}\]

gilt für 2 der 4 Komponenten aus der Passiven Transformation (1):

\begin{align} \label{eq-trafo_tensor_formulae-1a} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} \\ T_{\bar x \bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} + \tilde T c_{2\varphi} + T_{xy} s_{2\varphi} \\ -\tilde T s_{2\varphi} + T_{xy} c_{2\varphi} \end{bmatrix} \notag\\ &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_{2\varphi} & s_{2\varphi} \\ - s_{2\varphi} & c_{2\varphi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \tag{1a} \end{align}

Interpretation von (1a) in einem Diagramm mit horizontaler \(T_{\bar x \bar x}\)-Achse und vertikaler \(T_{\bar x \bar y}\)-Achse (siehe hierzu Mohrscher Kreis):

  • Alle Punkte mit Punktkoordinaten \((T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x \bar y})\) liegen auf einem Kreis mit Radius \(r\) und Mittelpunkt bei \((\bar{T}, 0 )\).

  • Für vorgegebenen Winkel \(\varphi\) lässt sich der zugehörigen Punkt auf dem Kreis finden. Und die transformierten Komponenten lassen sich als die Punktkoordinaten dieses Punkts ablesen.

  • Die \(180^\circ\)-Periodizität ist erkennbar.

  • (1a) ähnelt sehr stark der Transformation von Vektor-Komponenten:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\end{split}\]

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Tensor Transformation

Andere Ebenen

Ensprechende Formeln lassen sich auch für die anderen Ebenen aufstellen. Hierbei wird zyklisch vertauscht.

Ebene

blaues \(\varphi\) zählt pos. um

\((x,y)\)

\(z\)

\((y,z)\)

\(x\)

\((z,x)\)

\(y\)

Beispiel: Verwendung der \((y,z)\)-Ebene:

Passive Transformation: 1 Tensor & 2 Bezugssysteme

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar y \bar y} & T_{\bar y\bar z} \\ T_{\bar y\bar z} & T_{\bar z\bar z} \end{bmatrix} \! = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{yy} & T_{yz} \\ T_{yz} & T_{zz} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T}\end{split}\]

Aktive Transformation: 2 Tensoren & 1 Bezugssystem

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T'_{yy} & T'_{yz} \\ T'_{yz} & T'_{zz} \end{bmatrix} = R_\alpha^{\mathsf T} \begin{bmatrix} T_{yy} & T_{yz} \\ T_{yz} & T_{zz} \end{bmatrix} R_\alpha\end{split}\]
Tensor Transformation

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Tensor-Komponenten

Programme

  • Open in Colab Transformierte Komponenten, Eigenwerte und -richtungen.

  • Open in Colab Tensor-Komponente in vorgegebener Richtung in 2D.

  • Open in Colab Tensor-Komponente in vorgegebener Richtung in 3D.

Fußnoten:

1

Einheitenlose Größen: Die verwendeten einheitenlosen Größen sind definiert als die tatsächlichen Größen dividiert durch deren Einheit: Falls gegeben wäre eine Größe mit Einheit „Mega-Pascal“. Dann wäre die verwendete einheitenlose Größe gleich dieser gegebenen Größe dividiert durch „Mega-Pascal“.