Vektor-Komponenten

Kreis

Details

Die gegebenen Vektor-Komponenten \((v_x, v_y)\) definieren fünf Punkte auf einem Kreis mit Radius \(r=\sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2}\). Finden Sie die Punkt-Positionen im \(\left(v_{\bar x}, v_{\bar y} \right)\)-Diagramm abhängig von den gegebenen Komponenten \(\left(v_x, v_y\right)\):

Punkt

Winkelposition

\(\left( v_{\bar x} , v_{\bar y} \right)\)

1

gegeben

\((v_x, v_y)\)

2

3 Uhr

\((r, 0)\)

3

9 Uhr

\((-r, 0)\)

4

12 Uhr

\((0, r)\)

5

6 Uhr

\((0, -r)\)

Anleitung

  • Finden Sie Punkt 1 am Ende der roten Linie. Und lesen Sie die Komponenten \((v_x, v_y)\) ab als die Punktkoordinaten des Punktes am Ende der durchgezogenen roten Linie.

  • Vergleichen Sie diese Komponenten mit den Komponenten in den grauen Feldern.

  • Ziehen Sie für jedes der vier Bilder das passende graue Feld in die Mitte vom Bild.

Probe:

  • Berechnen Sie den Radius.

  • Prüfen Sie die Punkte 2, 3, 4 und 5.

Beispiel: Im ersten Bild links oben liest man ab:

  • \((v_x, v_y) = (3, 4)\).

Das führt auf \(r=5\) und:

Punkt

Winkelposition

\(\left( v_{\bar x} , v_{\bar y} \right)\)

2

3 Uhr

\((5, 0)\)

3

9 Uhr

\((-5, 0)\)

4

12 Uhr

\((0, 5)\)

5

6 Uhr

\((0, -5)\)

\(\varphi = \varphi_1 \Leftrightarrow v_{\bar x}\) maximal

Details

Die Vektor-Komponenten \(v_{\bar x}\) und \(v_{\bar y}\) sind abhängig von \(\varphi\). Gesucht ist der Winkel \(\varphi=\varphi_1\), so dass die \(v_{\bar x}\)-Komponente maximal wird.

Anleitung

  • Lesen Sie die Komponenten \((v_x, v_y)\) ab als die Punktkoordinaten des Punktes 1 am Ende der durchgezogenen roten Linie.

  • Berechnen Sie \(r=\sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2}\).

  • Berechnen Sie \(\varphi_1\) mit:

    \[\begin{split}\tan \frac{\varphi_1}{2}&=\frac{v_y}{v_x + r }\\ \varphi_1 &=2 \mathrm{atan}\,\, \frac{v_y}{v_x + r }\end{split}\]

    und finden Sie diesen Winkel im Diagramm.

  • Ziehen Sie für jedes der vier Bilder das passende graue Feld auf das Bild.

Beispiel: Mit \((v_x, v_y) = (3, 4)\) und \(r=5\) ergibt sich \(\varphi_1\stackrel{1{,}0}{\approx} 53^\circ\).

Bemerkung

In den grauen Feldern ist \(-180^\circ < \varphi_1 \le 180^\circ\). Und auch Ihr Taschenrechner oder Programm wird Ihnen vermutlich \(\varphi_1\) in diesem Intervall liefern. Aber in den Bildern ist \(0^\circ \le \varphi_1 \le 360^\circ\). Daher sind ggf. vom im Bild abgelesenen Winkel \(360^\circ\) zu subtrahieren…

Passive Transformation

Details

Die Vektor-Komponenten \((v_{\bar x}, v_{\bar y})\) sind abhängig von \(\varphi\) gemäß:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\end{split}\]

Es geht darum, alle in dieser Formel verwendeten Symbole zu visualisieren.

Anleitung

  • Lesen Sie die Komponenten \((v_x, v_y)\) ab als die Punktkoordinaten des Punktes 1 am Ende der durchgezogenen roten Linie.

  • Lesen Sie den Winkel \(\varphi\) ab - gemessen im Uhrzeigersinn von der roten bis zur rot gestrichtelten Linie. Oder lesen Sie \(\varphi\) ab - gemessen entgegen dem Uhrzeigersinn von der blau gestrichelten zur blauen Linie.

  • Berechnen Sie die Komponenten \((v_{\bar x},v_{\bar y})\).

  • Vergleichen Sie \(\varphi\) und \((v_{\bar x},v_{\bar y})\) mit den Einträgen auf den grauen Feldern.

  • Ziehen Sie für jedes der vier Bilder das passende graue Feld auf das Bild.

Beispiel: Im ersten Bild links oben liest man ab:

  • \((v_x, v_y) = (3, 4)\) und

  • \(\varphi=30^\circ\).

Das führt auf:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos 30^\circ & \sin 30^\circ \\ -\sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \\ &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 4{,}60 \\ 1{,}96 \end{bmatrix}\end{split}\]

Aktive Transformation

Details

Die Vektor-Komponenten \((v'_{x}, v'_{y})\) sind abhängig von \(\alpha\) gemäß:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v'_{x} \\ v'_{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\end{split}\]

Es geht darum, alle in dieser Formel verwendeten Symbole zu visualisieren.

Anleitung

  • Lesen Sie die Komponenten \((v_x, v_y)\) ab am Ende der durchgezogenen roten Linie.

  • Lesen Sie den Winkel \(-\alpha\) ab - gemessen im Uhrzeigersinn von der roten bis zur rot gestrichtelten Linie. Oder lesen Sie \(\alpha\) ab - gemessen entgegen dem Uhrzeigersinn von der roten bis zur rot gestrichtelten Linie.

  • Berechnen Sie \((v'_x, v'_y)\).

  • Vergleichen Sie \(\varphi\) und \((v'_x, v'_y)\) mit den Einträgen auf den grauen Feldern.

  • Ziehen Sie für jedes der vier Bilder das passende graue Feld auf das Bild.

Beispiel: Im ersten Bild links oben liest man ab:

  • \((v_x, v_y) = (3, 4)\) und

  • \(\varphi=30^\circ\).

Das führt auf:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v'_x \\ v'_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos( -30^\circ) & -\sin (-30^\circ) \\ \sin( -30^\circ) & \cos (-30^\circ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos 30^\circ & \sin 30^\circ \\ -\sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \\ &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 4{,}60 \\ 1{,}96 \end{bmatrix}\end{split}\]

Test

Passive und aktive Transformation von Vektor-Komponenten.