Vektor-Komponenten

Passive und aktive Transformation

Für einen Vektor gegeben durch seine \((x,y)\)-Komponenten bezogen auf ein \((x,y)\)-Bezugssystem, lässt sich berechnen:

  1. Die \((\bar x, \bar y)\)-Komponenten desselben Vektors, die sich auf ein \((\bar x, \bar y)\)-System beziehen, welches relativ zum \((x, y)\)-System gedreht ist (Passive Transformation).

  2. Die \((x, y)\)-Komponenten eines zweiten Vektors, der relativ zum ersten Vektor gedreht ist (Aktive Transformation).

Winkel

Winkel

zählt pos.

zeigt Winkelpos. von

relativ zu

\(\varphi\)

um \(z=\bar z\)

\((\bar x, \bar y)\)

\((x, y)\)

\(\alpha\)

um \(z=\bar z\)

\(\boldsymbol v'\)

\(\boldsymbol v\)

Komponenten

\((x,y)\)-Komp.

\((\bar x, \bar y)\)-Komp.

\(\boldsymbol v\)

\(\begin{bmatrix} v_{x}\\ v_{y} \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix}\)

\(\boldsymbol v'\)

\(\begin{bmatrix} v'_{x} \\ v'_{y} \end{bmatrix}\)

nicht definiert

Transformation

Passiv oder Aktiv

Passiv = 1 Vektor & 2 Bezugssysteme

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \qquad (1)\end{split}\]

Aktiv = 2 Vektoren & 1 Bezugssystem

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v'_{x} \\ v'_{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \qquad (2\text{b})\end{split}\]
../../../_images/trafo_vector.png

Abb. 1 Passive Transformation (links) und aktive Transformation (rechts) für den Spezialfall \(-\alpha=\varphi\), so dass \((v_{\bar x}, v_{\bar y}) = (v'_{x}, v'_{y})\).

Warum Kreis?

In einem Diagramm mit horizontaler \(v_{\bar x}\)-Achse und vertikaler \(v_{\bar y}\)-Achse gilt:

  • Alle Punkte mit Punktkoordinaten \((v_{\bar x}, v_{\bar y})\) liegen auf einem Kreis mit Radius \(r = \sqrt{v_{x}^2 +v_{y}^2}\), denn:

    \[\left\{ v_{\bar x} - 0 \right\}^2 + \left\{v_{\bar y} - 0\right\}^2 = r^2\]
  • Zu jedem Winkel \(\varphi\) gehört ein Punkt auf dem Kreis.

  • Die \(360^\circ\)-Periodizität ist erkennbar.

Drehachsen in 3D

Drehung des \((\bar x, \bar y, \bar z)\)-Systems relativ zum \((x, y, z)\)-System um verschiedene Achsen (für Drehungen um beliebige Achsen siehe hier):

Um z

\begin{align*} \begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \\ v_{\bar z} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi & 0 \\ -s_\varphi & c_\varphi& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} \tag{z} \end{align*}

Um x

\begin{align*} \begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \\ v_{\bar z} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_\varphi & s_\varphi \\ 0 & -s_\varphi & c_\varphi \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ \end{bmatrix} \tag{x} \end{align*}

Details

Zyklisches Vertauschen \((x,y,z)\mapsto(y, z, x)\) in (z) liefert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar y} \\ v_{\bar z} \\ v_{\bar x} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi & 0 \\ -s_\varphi & c_\varphi& 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_y \\ v_z \\ v_x \\ \end{bmatrix} \\ \leadsto \begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \\ v_{\bar z} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ c_\varphi & s_\varphi & 0 \\ -s_\varphi & c_\varphi& 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_y \\ v_z \\ v_x \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Die rechte Seite auf andere Art notiert liefert (x).

Um y

\begin{align*} \begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \\ v_{\bar z} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c_\varphi & 0 & -s_\varphi\\ 0 & 1 & 0 \\ s_\varphi & 0 & c_\varphi \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ \end{bmatrix} \tag{y} \end{align*}

Details

Zyklisches Vertauschen \((x,y,z)\mapsto(z, x, y)\) in (z) liefert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar z} \\ v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi & 0 \\ -s_\varphi & c_\varphi& 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_z \\ v_x \\ v_y \\ \end{bmatrix} \\ \leadsto \begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \\ v_{\bar z} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -s_\varphi & c_\varphi& 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ c_\varphi & s_\varphi & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_z \\ v_x \\ v_y \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Die rechte Seite auf andere Art notiert liefert (y).

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Vector Transformation

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Vektor-Komponenten

Fußnoten:

1

Einheitenlose Größen: Die verwendeten einheitenlosen Größen sind definiert als die tatsächlichen Größen dividiert durch deren Einheit: Falls gegeben wäre eine Größe mit Einheit „Meter pro Sekunde“. Dann wäre die verwendete einheitenlose Größe gleich dieser gegebenen Größe dividiert durch „Meter pro Sekunde“.