Vektorkomponenten

Seien zwei Bezugssysteme, zwei Vektoren und zwei Winkel definiert:

  • \((x,y)\) und \((\bar x, \bar y)\) sind Rechtssysteme mit gemeinsamer \(z\)-Achse. Die Winkelposition \(\varphi\) (positiv um \(z\) gemessen) zeigt die Lage von \((\bar x, \bar y)\) bezüglich \((x,y)\).

  • \(\boldsymbol v\) und \(\boldsymbol v'\) sind Vektoren. Die Winkelposition \(\alpha\) (positiv um \(z\) gemessen) zeigt die Lage von \(\boldsymbol v'\) bezüglich \(\boldsymbol v\).

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Abb. 1 Passive Transformation (links) und aktive Transformation (rechts). Hier der Spezialfall, dass die transformierten Komponenten gleich sind.

Winkelpositionen

Winkel um \(z\) pos.

zeigt Lage von

bezüglich

\(\varphi\)

\((\bar x, \bar y)\)

\((x, y)\)

\(\alpha\)

\(\boldsymbol v'\)

\(\boldsymbol v\)

Komponenten-Matrizen

\((x,y)\)-Komp.

\((\bar x, \bar y)\)-Komp.

\(\boldsymbol v\)

\(\begin{bmatrix} v_{x}\\ v_{y} \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix}\)

\(\boldsymbol v'\)

\(\begin{bmatrix} v'_{x} \\ v'_{y} \end{bmatrix}\)

nicht definiert

Transformationsformeln

Komponenten-Umrechnung mit Matrix-Multiplikation

Passive Transformation: 1 Vektor & 2 Bezugssysteme

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\end{split}\]

Aktive Transformation: 2 Vektoren & 1 Bezugssystem

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v'_{x} \\ v'_{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\end{split}\]

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Vector Transformation

Größen ohne Einheiten

Die verwendeten einheitenlosen Größen sind definiert als die tatsächlichen Größen dividiert durch deren Einheit: Falls gegeben wäre eine Größe mit Einheit \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) (Meter pro Sekunde): Dann wäre die verwendete dimensionslose Größe gleich dieser gegebenen Größe dividiert durch \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\).

Und falls stattdessen gegeben wäre eine Größe mit Einheit \(\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2}\) (Newton pro Quadratmeter): Dann wäre die verwendete dimensionslose Größe gleich dieser gegebenen Größe dividiert durch \(\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2}\).

Verschiedenes

Warum Kreis?

Aus der Transformationsformel folgt die Kreisgleichung:

\[\left\{ v_{\bar x} - 0 \right\}^2 + \left\{v_{\bar y} - 0\right\}^2 = r^2\]

mit \(r = \sqrt{v_{x}^2 +v_{y}^2}\).

Aktive Transformation

Passive Transformation mit Winkel \(\varphi\) und aktive Transformation mit Winkel \(\alpha=-\varphi\) führen zu denselben transformierten Komponenten. Mit anderen Worten: Drehung des Bezugssystems nach links ergibt zahlenmäßig dieselben transformierten Komponenten wie Drehung des Vektors nach rechts.