Mohrscher Kreis

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Scheibe unter Spannung. Fasern des Materials sind rot markiert, damit man sieht, wie das Material liegt. Links und rechts liegt das Material also gleich. Nur ist die Scheibe unterschiedlich ausgeschnitten.

Gegeben

  • Die zwei Bezugssysteme \((x, y)\) und \((\bar x,\bar y)\).

  • Die \((x,y)\)-Komponenten eines symmetrischen Tensors:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix}\end{split}\]

    Beispiel:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ \mathsf{sym} & 5 \end{bmatrix}\end{split}\]
  • Die Formel für die Passive Transformation von Tensor-Komponenten:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} \! = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T}\end{split}\]

Gesucht

  1. Der Kreis, aus dem man verschiedene Größen ablesen kann.

  2. Die Komponenten \((T_{\bar x\bar x}, T_{\bar x \bar y})\) für beliebige Winkel \(\varphi\).

  3. Die Extremwerte: Das maximale und minimale \(T_{\bar x\bar x}\) sowie die zugehörigen Winkel. Und das maximale und minimale \(T_{\bar x\bar y}\) sowie die zugehörigen Winkel.

1. Kreis

../../../_images/mohr.png

1. Zeichnen der Diagramm-Achsen

  • Horizontale Achse: \(T_{\bar x \bar x}\)

  • Vertikale Achse: \(T_{\bar x \bar y}\)

2. Zeichnen des Kreises aus 3 Punkten

Punkt

Komponenten

Beispiel

Position

\(P_{0^\circ}\)

\((T_{xx}, T_{xy})\)

\((-1, 4)\)

auf dem Kreis

\(P_{90^\circ}\)

\((T_{yy}, -T_{xy})\)

\((5, -4)\)

gegenüber \(P_{0^\circ}\)

\(P_{M}\)

\((\bar{T}, 0)\)

\((2,0)\)

Kreismittelpunkt

mit \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\).

3. Zeichnen von weiteren 4 Punkten

Punkt

Komponenten

Beispiel

Position

\(P_{\varphi_1}\)

\((\bar{T} + r, 0)\)

\(( 7 , 0 )\)

3 Uhr

\(P_{\varphi_1+90^\circ}\)

\((\bar{T} - r, 0)\)

\((-3 , 0 )\)

9 Uhr

\(P_{\varphi_1-45^\circ}\)

\((\bar{T}, 0 + r)\)

\(( 2 , 5 )\)

12 Uhr

\(P_{\varphi_1+45^\circ}\)

\((\bar{T}, 0 - r)\)

\(( 2 , -5 )\)

6 Uhr

mit \(r = \sqrt{\left[ \tfrac12 \left(T_{xx}-T_{yy}\right)\right]^2 +T_{xy}^2}\).

2. Komponenten

../../../_images/mohr.png

Ablesen der Komponenten

  • Roten Radius zeichnen zwischen \(P_{M}\) und \(P_{0^\circ}\).

  • Roten Winkel \(2\varphi\) zeichnen.

  • Neuen Radius und neuen Punkt auf den Kreis zeichnen.

  • Punktkoordinaten \((T_{\bar x\bar x}, T_{\bar x \bar y})\) ablesen.

Beispiel

Punkt

Komponenten

\(\varphi\) (blau)

\(2 \varphi\) (rot)

\(P_{\varphi_1}\)

\((-1, 4)\)

\(0^\circ\)

\(0^\circ\)

\(P_{\varphi_1+90^\circ}\)

\((3{,}96, \, 4{,}60)\)

\(30^\circ\)

\(60^\circ\)

\(P_{\varphi_1-45^\circ}\)

\((6{,}96, \, 0{,}60)\)

\(60^\circ\)

\(120^\circ\)

\(P_{\varphi_1+45^\circ}\)

\((5, -4)\)

\(90^\circ\)

\(180^\circ\)

3. Extremwerte

../../../_images/mohr_extrem.png

Ablesen der Extremwerte und der zugehörigen Winkel

Punkt

Komponenten

Extremwert

Winkel

\(P_{\varphi_1}\)

\((\max_\varphi T_{\bar x \bar x} ,0)\)

\(\underset{\varphi}{\max} T_{\bar x \bar x}=\bar T + r\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\max} \, T_{\bar x \bar x} \!=\! \varphi_1\)

\(P_{\varphi_1+90^\circ}\)

\((\min_\varphi T_{\bar x \bar x} ,0)\)

\(\underset{\varphi}{\min} T_{\bar x \bar x}=\bar T - r\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\min} \, T_{\bar x \bar x} \!=\! \varphi_1 \!+\! 90^\circ\)

\(P_{\varphi_1-45^\circ}\)

\((\bar T, \max_\varphi T_{\bar x \bar y})\)

\(\underset{\varphi}{\max} T_{\bar x \bar y}= r\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\max} \, T_{\bar x \bar y} \!=\! \varphi_1 \!-\! 45^\circ\)

\(P_{\varphi_1+45^\circ}\)

\((\bar T, \min_\varphi T_{\bar x \bar y})\)

\(\underset{\varphi}{\min} T_{\bar x \bar y}= -r\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\min} \, T_{\bar x \bar y} \!=\! \varphi_1 \!+\! 45^\circ\)

mit \(\varphi_1 =\arctan{} \tfrac{T_{xy}}{T_{xx}-(\bar T - r)}\).

Beispiel

Punkt

Komponenten

Extremwert

Winkel

\(P_{\varphi_1}\)

\((7,0)\)

\(\underset{\varphi}{\max} T_{\bar x \bar x}= 7\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\max} \, T_{\bar x \bar x}\! \stackrel{1{,}0}{\approx}\! 63^\circ\)

\(P_{\varphi_1+90^\circ}\)

\((-3,0)\)

\(\underset{\varphi}{\min} T_{\bar x \bar x}= -3\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\min} \, T_{\bar x \bar x}\! \stackrel{1{,}0}{\approx}\! 153^\circ\)

\(P_{\varphi_1-45^\circ}\)

\((2, 5)\)

\(\underset{\varphi}{\max} T_{\bar x \bar y}= 5\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\max} \, T_{\bar x \bar y}\! \stackrel{1{,}0}{\approx}\! 18^\circ\)

\(P_{\varphi_1+45^\circ}\)

\((2, -5)\)

\(\underset{\varphi}{\min} T_{\bar x \bar y}= -5\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\min} \, T_{\bar x \bar y}\! \stackrel{1{,}0}{\approx}\! 108^\circ\)

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