Mohrscher Kreis

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Gegeben

  • Die zwei Bezugssysteme \((x, y)\) und \((\bar x,\bar y)\).

  • Die \((x,y)\)-Komponenten eines symmetrischen Tensors:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix}\end{split}\]

    Beispiel:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\end{split}\]
  • Die Formel für die Passive Transformation von Tensor-Komponenten:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} \! = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T}\end{split}\]

Gesucht

  1. Der Kreis, aus dem man verschiedene Größen ablesen kann.

  2. Die Komponenten \((T_{\bar x\bar x}, T_{\bar x \bar y})\) für beliebige Winkel \(\varphi\).

  3. Die Extremwerte: Das maximale und minimale \(T_{\bar x\bar x}\) sowie die zugehörigen Winkel. Und das maximale und minimale \(T_{\bar x\bar y}\) sowie die zugehörigen Winkel.

1. Kreis

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Zeichnen der Diagramm-Achsen

  • Horizontale Achse: \(T_{\bar x \bar x}\)

  • Vertikale Achse: \(T_{\bar x \bar y}\)

Zeichnen des Kreises aus 3 Punkten

Punkt

Komponenten

Beispiel

Position

\(P_{0^\circ}\)

\((T_{xx}, T_{xy})\)

\((-1, 4)\)

auf dem Kreis

\(P_{90^\circ}\)

\((T_{yy}, -T_{xy})\)

\((5, -4)\)

gegenüber \(P_{0^\circ}\)

\(P_{M}\)

\((\bar{T}, 0)\)

\((2,0)\)

Kreismittelpunkt

mit \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\).

Zeichnen von weiteren 4 Punkten

Punkt

Komponenten

Beispiel

Position

\(P_{\varphi_1}\)

\((\bar{T} + r, 0)\)

\(( 7 , 0 )\)

3 Uhr

\(P_{\varphi_1+90^\circ}\)

\((\bar{T} - r, 0)\)

\((-3 , 0 )\)

9 Uhr

\(P_{\varphi_1-45^\circ}\)

\((\bar{T}, 0 + r)\)

\(( 2 , 5 )\)

12 Uhr

\(P_{\varphi_1+45^\circ}\)

\((\bar{T}, 0 - r)\)

\(( 2 , -5 )\)

6 Uhr

mit \(r = \sqrt{\left[ \tfrac12 \left(T_{xx}-T_{yy}\right)\right]^2 +T_{xy}^2}\).

2. Komponenten

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Ablesen der Komponenten

  • Roten Radius zeichnen zwischen \(P_{M}\) und \(P_{0^\circ}\).

  • Roten Winkel \(2\varphi\) zeichnen.

  • Neuen Radius und neuen Punkt auf den Kreis zeichnen.

  • Punktkoordinaten \((T_{\bar x\bar x}, T_{\bar x \bar y})\) ablesen.

Beispiel

Punkt

Komponenten

\(\varphi\) (blau)

\(2 \varphi\) (rot)

\(P_{\varphi_1}\)

\((-1, 4)\)

\(0^\circ\)

\(0^\circ\)

\(P_{\varphi_1+90^\circ}\)

\((3{,}96, \, 4{,}60)\)

\(30^\circ\)

\(60^\circ\)

\(P_{\varphi_1-45^\circ}\)

\((6{,}96, \, 0{,}60)\)

\(60^\circ\)

\(120^\circ\)

\(P_{\varphi_1+45^\circ}\)

\((5, -4)\)

\(90^\circ\)

\(180^\circ\)

3. Extremwerte

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3. Ablesen der Extremwerte und der zugehörigen Winkel

Punkt

Komponenten

Extremwert

Winkel

\(P_{\varphi_1}\)

\((\max_\varphi T_{\bar x \bar x} ,0)\)

\(\underset{\varphi}{\max} T_{\bar x \bar x}=\bar T + r\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\max} \, T_{\bar x \bar x} \!=\! \varphi_1\)

\(P_{\varphi_1+90^\circ}\)

\((\min_\varphi T_{\bar x \bar x} ,0)\)

\(\underset{\varphi}{\min} T_{\bar x \bar x}=\bar T - r\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\min} \, T_{\bar x \bar x} \!=\! \varphi_1 \!+\! 90^\circ\)

\(P_{\varphi_1-45^\circ}\)

\((\bar T, \max_\varphi T_{\bar x \bar y})\)

\(\underset{\varphi}{\max} T_{\bar x \bar y}= r\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\max} \, T_{\bar x \bar y} \!=\! \varphi_1 \!-\! 45^\circ\)

\(P_{\varphi_1+45^\circ}\)

\((\bar T, \min_\varphi T_{\bar x \bar y})\)

\(\underset{\varphi}{\min} T_{\bar x \bar y}= -r\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\min} \, T_{\bar x \bar y} \!=\! \varphi_1 \!+\! 45^\circ\)

mit \(\varphi_1 =\mathrm{atan}\,\, \tfrac{T_{xy}}{T_{xx}- T_{\bar x \bar x 2}}\).

Beispiel

Punkt

Komponenten

Extremwert

Winkel

\(P_{\varphi_1}\)

\((7,0)\)

\(\underset{\varphi}{\max} T_{\bar x \bar x}= 7\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\max} \, T_{\bar x \bar x}\! \stackrel{1{,}0}{\approx}\! 63^\circ\)

\(P_{\varphi_1+90^\circ}\)

\((-3,0)\)

\(\underset{\varphi}{\min} T_{\bar x \bar x}= -3\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\min} \, T_{\bar x \bar x}\! \stackrel{1{,}0}{\approx}\! 153^\circ\)

\(P_{\varphi_1-45^\circ}\)

\((2, 5)\)

\(\underset{\varphi}{\max} T_{\bar x \bar y}= 5\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\max} \, T_{\bar x \bar y}\! \stackrel{1{,}0}{\approx}\! 18^\circ\)

\(P_{\varphi_1+45^\circ}\)

\((2, -5)\)

\(\underset{\varphi}{\min} T_{\bar x \bar y}= -5\)

\(\underset{\varphi}{\arg\!\min} \, T_{\bar x \bar y}\! \stackrel{1{,}0}{\approx}\! 108^\circ\)

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Tensor Transformation

Warum ist das ein Kreis ?

In einem Diagramm mit horizontaler \(v_{\bar x}\)-Achse und vertikaler \(v_{\bar y}\)-Achse gilt:

  • Alle Punkte mit Punktkoordinaten \((v_{\bar x}, v_{\bar y})\) liegen auf einem Kreis mit Radius \(r = \sqrt{v_{x}^2 +v_{y}^2}\), denn:

    \[\left\{ v_{\bar x} - 0 \right\}^2 + \left\{v_{\bar y} - 0\right\}^2 = r^2\]
  • Zu jedem Winkel \(\varphi\) gehört ein Punkt auf dem Kreis.

  • Die \(360^\circ\)-Periodizität ist erkennbar.