Mohrscher Kreis

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Gegeben:

  • Die zwei Bezugssysteme \((x, y)\) und \((\bar x,\bar y)\).

  • Die \((x,y)\)-Komponenten eines symmetrischen Tensors:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\end{split}\]
  • Die Passive Transformation von Tensor-Komponenten:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} \! = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T}\end{split}\]

Zweck des Kreises

Der Mohrsche Kreis ermöglicht die grafische Auswertung dieser Transformationsformel. Folgende Größen können am Mohrschen Kreis abgelesen werden:

  • Die Komponenten \((T_{\bar x\bar x}, T_{\bar x \bar y})\) für beliebige Winkel \(\varphi\).

  • Das maximale und minimale \(T_{\bar x\bar x}\) sowie die zugehörigen Winkel.

  • Das maximale und minimale \(T_{\bar x\bar y}\) sowie die zugehörigen Winkel.

Zeichnen des Kreises

Zeichnen des Kreises in drei Schritten.

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Schritt 1: Zeichnen eines Diagramms

  1. Horizontale Achse: \(T_{\bar x \bar x}\)

  2. Vertikale Achse: \(T_{\bar x \bar y}\)

Schritt 2: Zeichnen eines Kreises aus 3 Punkten

Punkt

Beispiel

Position

\(P_{0^\circ}=(T_{xx}, T_{xy})\)

\((-1, 4)\)

auf dem Kreis

\(P_{90^\circ}=(T_{yy}, -T_{xy})\)

\((5, -4)\)

gegenüber \(P_{0^\circ}\)

\(P_{M}=(\bar{T}, 0)\)

\((2,0)\)

Kreismittelpunkt

Abkürzung: \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\).

Schritt 3: Zeichnen von weiteren 4 Punkten

Punkt

Beispiel

Position

\(P_{\varphi_1}=(\bar{T} + r, 0)\)

\(( 7 , 0 )\)

3 Uhr

\(P_{\varphi_2}=(\bar{T} - r, 0)\)

\((-3 , 0 )\)

9 Uhr

\(P_{\psi_1}=(\bar{T}, 0 + r)\)

\(( 2 , 5 )\)

12 Uhr

\(P_{\psi_2}=(\bar{T}, 0 - r)\)

\(( 2 , -5 )\)

6 Uhr

Abkürzung: \(r = \sqrt{\left\{ \tfrac12 \left(T_{xx}-T_{yy}\right)\right\}^2 +T_{xy}^2}\).

Ablesen der Komponenten

Winkel

Farbe

gezählt

von

bis zu

\(\varphi\)

blau

\(\circlearrowleft\)

\(\color{blue}{¦}\)

\(\color{blue}{|}\)

\(2 \varphi\)

rot

\(\circlearrowright\)

\(\color{red}{|}\)

\(\color{red}{¦}\)

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Ablesen der Komponenten

  1. Roten durchgezogenen Radius zeichnen zwischen \(P_{M}\) und \(P_{0^\circ}\).

  2. Vom roten durchgezogenen Radius ausgehend den roten Winkel \(2\varphi\) zeichnen.

  3. Roten gestrichelten Radius zeichnen.

  4. Punkt auf den Kreis zeichnen dort, wo der rote gestrichelte Radius den Kreis berührt.

  5. \((T_{\bar x\bar x}, T_{\bar x \bar y})\) ablesen als Punktkkoordinaten dieses Punkts.

4 Beispiele:

Punkt und Komponenten

\(\varphi\) (blau)

\(2 \varphi\) (rot)

\(P_{0^\circ}=(-1, 4)\)

\(0^\circ\)

\(0^\circ\)

\(P_{30^\circ}=(3.96, 4.60)\)

\(30^\circ\)

\(60^\circ\)

\(P_{60^\circ}=(6.96, 0.60)\)

\(60^\circ\)

\(120^\circ\)

\(P_{90^\circ}=(5, -4)\)

\(90^\circ\)

\(180^\circ\)

Web-App

Tensor Transformation

Ablesen der Extremwerte

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Ablesen der Extremwerte und der zugehörigen Winkel

Punkt

Winkel

Extremwert

\(P_{\varphi_1}=(T_{\bar x \bar x 1},0)\)

\(\varphi_1\!=\!\arctan \tfrac{T_{xy}}{T_{xx}- T_{\bar x \bar x 2}}\)

\(T_{\bar x \bar x 1}=\bar T + r\)

\(P_{\varphi_2}=(T_{\bar x \bar x 2},0)\)

\(\varphi_2= \varphi_1 + 90\, ^\circ\)

\(T_{\bar x \bar x 2}=\bar T - r\)

\(P_{\psi_1} =(\bar T, T_{\bar x \bar y 1})\)

\(\psi_1= \varphi_1 - 45\, ^\circ\)

\(T_{\bar x \bar y 1} = r\)

\(P_{\psi_2} =(\bar T, T_{\bar x \bar y 2})\)

\(\psi_2= \varphi_1 + 45\, ^\circ\)

\(T_{\bar x \bar y 2} = -r\)

Beispiel:

Punkt

Winkel

Extremwert

\(P_{\varphi_1} =(7,0)\)

\(\varphi_1\approx 63^\circ\)

\(T_{\bar x \bar x 1} = 7\)

\(P_{\varphi_2} =(-3,0)\)

\(\varphi_2\approx 153^\circ\)

\(T_{\bar x \bar x 2} = -3\)

\(P_{\psi_1} =(2, 5)\)

\(\psi_1 \approx 18^\circ\)

\(T_{\bar x \bar y 1} = 5\)

\(P_{\psi_2} =(2, -5)\)

\(\psi_2 \approx 108^\circ\)

\(T_{\bar x \bar y 2} = -5\)