Mohrscher Kreis

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Gegeben:

  • Die zwei Bezugssysteme \((x, y)\) und \((\bar x,\bar y)\).

  • Die \((x,y)\)-Komponenten des symmetrischen Spannungstensors:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \, \mathrm{Pa}\end{split}\]
  • Die Passive Transformation der Tensor-Komponenten, so dass:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} \sigma_{\bar x \bar x} & \sigma_{\bar x\bar y} \\ \sigma_{\bar x\bar y} & \sigma_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} \! = R_\varphi \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T}\end{split}\]

Zweck des Kreises

Der Mohrsche Kreis ermöglicht die grafische Auswertung dieser Transformationsformel. Folgende Größen können am Mohrschen Kreis abgelesen werden:

  • Die Komponenten \((\sigma_{\bar x\bar x}, \tau_{\bar x \bar y})\) für beliebige Winkelposition \(\varphi\).

  • Das maximale und minimale \(\sigma_{\bar x\bar x}\) sowie die zugehörigen Winkelpositionen.

  • Das maximale und minimale \(\tau_{\bar x\bar y}\) sowie die zugehörigen Winkelpositionen.

Zeichnen des Kreises

Zeichnen des Kreises in drei Schritten.

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Schritt 1: Zeichnen eines Diagramms

  1. Horizontale Achse: \(\sigma_{\bar x \bar x}\,/\,\mathrm{Pa}\)

  2. Vertikale Achse: \(\tau_{\bar x \bar y}\,/\,\mathrm{Pa}\)

Schritt 2: Zeichnen von 3 Punkten

  • \(P_{0^\circ}=(\sigma_{xx}, \tau_{xy})\).

  • \(P_{90^\circ}=(\sigma_{yy}, -\tau_{xy})\).

  • \(P_{M}=(\bar{\sigma}, 0)\).

Abkürzung: \(\bar{\sigma} = \tfrac12 \left(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}\right)\).

Schritt 3: Zeichnen von weiteren 4 Punkten

  • \(P_{\sigma_{\mathsf{max}}} = (\bar{\sigma} + r, 0)\)

  • \(P_{\sigma_{\mathsf{min}}} = (\bar{\sigma} - r, 0)\)

  • \(P_{\tau_{\mathsf{max}}} = (\bar{\sigma}, 0 + r)\)

  • \(P_{\tau_{\mathsf{min}}} = (\bar{\sigma}, 0 - r)\)

Abkürzung: \(r = \sqrt{\left\{ \tfrac12 \left(\sigma_{xx}-\sigma_{yy}\right)\right\}^2 +\tau_{xy}^2}\).

Positionen der Punkte:

Punkt

\((\sigma_{\bar x \bar x} , \tau_{\bar x \bar y})\)

\(P_{0^\circ}\)

\((\sigma_{xx}, \tau_{xy})\)

\(P_{90^\circ}\)

\((\sigma_{yy}, -\tau_{xy})\)

\(P_{M}\)

\((\bar{\sigma}, 0)\)

\(P_{\sigma_{\mathsf{max}}}\)

\((\bar{\sigma} + r, 0)\)

\(P_{\sigma_{\mathsf{min}}}\)

\((\bar{\sigma} - r, 0)\)

\(P_{\tau_{\mathsf{max}}}\)

\((\bar{\sigma}, 0 + r)\)

\(P_{\tau_{\mathsf{min}}}\)

\((\bar{\sigma}, 0 - r)\)

Ablesen der Spannungen

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Verwendung von \(2\varphi\) und \(\varphi\):

Winkel

zeigt Pos. von

bezüglich

Zählung

\(2 \varphi\) (rot)

\(\overrightarrow{P_{M}P_{0^\circ}}\)

\(\overrightarrow{P_{M}P_{\varphi}}\)

\(\circlearrowright\)

\(\varphi\) (grün)

\(x\)-Achse

\(\bar x\)-Achse

\(\circlearrowleft\)

Einige Werte für Beispiel (gerundet auf \(0{,}01\)):

Punkt

\(\varphi\)

\((\sigma_{\bar x \bar x} , \tau_{\bar x \bar y})\)

\(P_{0^\circ}\)

\(0\,^\circ\)

\((-1, 4)\,\mathrm{Pa}\)

\(P_{30^\circ}\)

\(30\,^\circ\)

\((3.96, 4.60)\,\mathrm{Pa}\)

\(P_{60^\circ}\)

\(60\,^\circ\)

\((6.96, 0.60)\,\mathrm{Pa}\)

\(P_{90^\circ}\)

\(90\,^\circ\)

\((5, -4)\,\mathrm{Pa}\)

Ablesen der Extremwerte

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Punkte, bei denen Spannungen Extremwerte annehmen und zugehörige Winkelpositionen:

Punkt

Winkelposition

\(P_{\sigma_{\mathsf{max}}}= ( \sigma_{\mathsf{max}}, 0)\)

\(\tan\varphi_1\!=\!\tfrac{\tau_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{\mathsf{min}}}\)

\(P_{\sigma_{\mathsf{min}}}= ( \sigma_{\mathsf{min}}, 0)\)

\(\varphi_2= \varphi_1 + 90\, ^\circ\)

\(P_{\tau_{\mathsf{max}}}= ( 0, \tau_{\mathsf{max}})\)

\(\psi_1= \varphi_1 - 45\, ^\circ\)

\(P_{\tau_{\mathsf{min}}}= ( 0, \tau_{\mathsf{min}})\)

\(\psi_2= \varphi_1 + 45\, ^\circ\)

Ablesen von (einer Näherung für) \(\varphi_1\) aus dem Bild:

Winkel

zeigt Pos. von

bezüglich

Zählung

\(2 \varphi_1\) (rot)

\(\overrightarrow{P_{M}P_{0^\circ}}\)

\(\overrightarrow{P_{M} P_{\sigma_{\mathsf{max}}}}\)

\(\circlearrowright\)

\(\varphi_1\) (grün)

\(\overrightarrow{P_{\sigma_{\mathsf{min}}} P_{M}}\)

\(\overrightarrow{P_{\sigma_{\mathsf{min}}} P_{0^\circ}}\)

\(\circlearrowleft\)

Extremwerte der Spannungen für das Beispiel:

Extremwert

Winkelposition

Typ

\(\sigma_{\mathsf{max}} = 7 \, \mathrm{Pa}\)

\(\varphi_1\approx 63\,^\circ\)

max. Normalspannung

\(\sigma_{\mathsf{min}} = -3 \, \mathrm{Pa}\)

\(\varphi_2\approx 153\,^\circ\)

min. Normalspannung

\(\tau_{\mathsf{max}} = 5 \, \mathrm{Pa}\)

\(\psi_1 \approx 18\,^\circ\)

max. Schubspannung

\(\tau_{\mathsf{min}} = -5 \, \mathrm{Pa}\)

\(\psi_2 \approx 108\,^\circ\)

min. Schubspannung