M.1.A

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Es geht um die Winkelposition (Englisch: angular position) eines Zeigers. Untersuchen Sie die Winkelposition eines Sekundenzeigers. Gehen Sie wie folgt vor.

1. Winkelposition

../../../_images/M.1.A.png

Konventionen

  • Zweck von \(\varphi\): Beschreibung der Winkelposition des Sekundenzeigers.

  • Definitionsbereich von \(\varphi\): \(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\).

  • Zählrichtung von \(\varphi\): Entgegen Uhrzeigersinn.

  • Nullpunkt von \(\varphi\): 3-Uhr-Stundenzeiger-Winkelposition.

Füllen Sie folgende Tabelle aus:

Zeiger-Winkelposition

\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)

2 Uhr

\(30^\circ\)

12 Uhr

\(90^\circ\)

6 Uhr

\(\ldots\)

11 Uhr

\(\ldots\)

4 Uhr

\(\ldots\)

5 Uhr

\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition

\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)

2 Uhr

\(30^\circ\)

12 Uhr

\(90^\circ\)

6 Uhr

\(270^\circ\)

11 Uhr

\(120^\circ\)

4 Uhr

\(330^\circ\)

5 Uhr

\(300^\circ\)

2. Zählrichtung

../../../_images/M.1.A_3.png

Negative Winkel

  • Die grünen Pfeile kennzeichnen die Richtungen, in die \(x\) bzw. \(\varphi\) größer werden.

  • Die rote Pfeile kennzeichnen die Richtungen, in die \(-x\) bzw. \(-\varphi\) größer werden.

  • Die Aussage \(-x=2\) ist äquivalent zur Aussage \(x=-2\).

  • Die Aussage \(-\varphi=330^\circ\) ist äquivalent zur Aussage \(\varphi=-330^\circ\).

  • Positionen von Teilchen bzw. Winkelpositionen von Zeigern können also auch mit negativen Zahlen beschrieben werden.

Füllen Sie folgende Tabelle aus.

Zeiger-Winkelposition

\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)

\(0^\circ \le - \varphi < 360^\circ\)

\(-360^\circ < \varphi \le 0^\circ\)

2 Uhr

\(30^\circ\)

\(330^\circ\)

\(-330^\circ\)

12 Uhr

\(90^\circ\)

\(270^\circ\)

\(-270^\circ\)

6 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

11 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

4 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

5 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition

\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)

\(0^\circ \le - \varphi < 360^\circ\)

\(-360^\circ < \varphi \le 0^\circ\)

2 Uhr

\(30^\circ\)

\(330^\circ\)

\(-330^\circ\)

12 Uhr

\(90^\circ\)

\(270^\circ\)

\(-270^\circ\)

6 Uhr

\(270^\circ\)

\(90^\circ\)

\(-90^\circ\)

11 Uhr

\(120^\circ\)

\(240^\circ\)

\(-240^\circ\)

4 Uhr

\(330^\circ\)

\(30^\circ\)

\(-30^\circ\)

5 Uhr

\(300^\circ\)

\(60^\circ\)

\(-60^\circ\)

3. Periodizität

../../../_images/M.1.A_2.png

360-Grad-Periodizität

Eine einzige Zeiger-Winkelposition kann mit mehreren Winkeln beschrieben werden, die sich um \(360^\circ\) unterscheiden. Z. B. alle folgenden Winkel beschreiben die 2 Uhr Zeiger-Winkelposition:

\[\begin{split}\varphi &= -330^\circ \\ \varphi &= 30^\circ \\ \varphi &= 390^\circ \\ \varphi &= 750^\circ\end{split}\]

Füllen Sie folgende Tabelle aus.

Zeiger-Winkelposition

\(-360^\circ \le \varphi < 0^\circ\)

\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)

\(360^\circ \le \varphi < 720^\circ\)

2 Uhr

\(-330^\circ\)

\(30^\circ\)

\(390^\circ\)

12 Uhr

\(-270^\circ\)

\(90^\circ\)

\(450^\circ\)

6 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

11 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

4 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

5 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition

\(-360^\circ \le \varphi < 0^\circ\)

\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)

\(360^\circ \le \varphi < 720^\circ\)

2 Uhr

\(-330^\circ\)

\(30^\circ\)

\(390^\circ\)

12 Uhr

\(-270^\circ\)

\(90^\circ\)

\(450^\circ\)

6 Uhr

\(-90^\circ\)

\(270^\circ\)

\(630^\circ\)

11 Uhr

\(-240^\circ\)

\(120^\circ\)

\(480^\circ\)

4 Uhr

\(-30^\circ\)

\(330^\circ\)

\(690^\circ\)

5 Uhr

\(-60^\circ\)

\(300^\circ\)

\(660^\circ\)

4. Grad und Radiant

../../../_images/M.1.A_4.png

Umrechnung

Es gilt:

\[360^\circ = 2 \pi = 2 \pi \,\mathrm{rad}\]

Und damit:

\[\begin{split}1^\circ &= \tfrac{1}{360} 2 \pi = \tfrac{1}{180} \pi\\ 1 \,\mathrm{rad} &= \tfrac{1}{2 \pi}360^\circ = \tfrac{1}{\pi}180^\circ\end{split}\]

Und damit z.B:

\[\begin{split}30^\circ &= 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \tfrac{1}{180} \pi = \tfrac{1}{6} \pi \stackrel{0{,}01}{\approx} 0{,}52 \\ \tfrac{1}{6} \pi &= \tfrac{1}{6} \pi \cdot 1 \,\mathrm{rad} = \tfrac{1}{6} \pi \cdot \tfrac{1}{\pi}180^\circ = 30^\circ\end{split}\]

Eine Stunden „entspricht“ also \(30^\circ\) bzw. \(\tfrac{1}{6} \pi \,\mathrm{rad}\).

Füllen Sie folgende Tabelle aus.

Zeiger-Winkelposition

\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)

\(0 \le \varphi < 2 \pi\)

\(- 2 \pi < \varphi \le 0\)

2 Uhr

\(30 ^\circ\)

\(\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{11}{12} \cdot 2\pi\)

12 Uhr

\(90 ^\circ\)

\(\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{9}{12} \cdot 2\pi\)

6 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

11 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

4 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

5 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition

\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)

\(0 \le \varphi < 2 \pi\)

\(- 2 \pi < \varphi \le 0\)

2 Uhr

\(30 ^\circ\)

\(\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{11}{12} \cdot 2\pi\)

12 Uhr

\(90 ^\circ\)

\(\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{9}{12} \cdot 2\pi\)

6 Uhr

\(270^\circ\)

\(\tfrac{9}{12} \cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)

11 Uhr

\(120^\circ\)

\(\tfrac{4}{12} \cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{8}{12} \cdot 2\pi\)

4 Uhr

\(330^\circ\)

\(\tfrac{11}{12}\cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)

5 Uhr

\(300^\circ\)

\(\tfrac{10}{12}\cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{2}{12} \cdot 2\pi\)

5. Freie Wahl

../../../_images/M.1.A_5.png

Wahl von Bezeichnung, Nullpunkt und Zählrichtung

Winkel werden zur Beschreibung der Winkelposition des Zeigers verwendet. Hierbei wählt man die Bezeichnung des Winkels, den Nullpunkt und die Zählrichtung:

Füllen Sie folgende Tabelle aus.

Zeiger-Winkelposition

\(0^\circ \le \psi < 360^\circ\)

\(0 \le \psi < 2 \pi\)

7 Uhr

\(30 ^\circ\)

\(\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)

9 Uhr

\(90 ^\circ\)

\(\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)

6 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

11 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

4 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

5 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition

\(0^\circ \le \psi < 360^\circ\)

\(0 \le \psi < 2 \pi\)

7 Uhr

\(30 ^\circ\)

\(\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)

9 Uhr

\(90 ^\circ\)

\(\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)

6 Uhr

\(0^\circ\)

\(\tfrac{0}{12} \cdot 2\pi\)

11 Uhr

\(150^\circ\)

\(\tfrac{5}{12} \cdot 2\pi\)

4 Uhr

\(300^\circ\)

\(\tfrac{10}{12}\cdot 2\pi\)

5 Uhr

\(330^\circ\)

\(\tfrac{11}{12}\cdot 2\pi\)

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