M.1.A

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In der Geometrie sind Winkel meist Zahlen mit Einheit Grad oder Radiant, die nie kleiner als Null sind. Winkel verwendet man aber auch zur Beschreibung der Winkelposition (Englisch: angular position). Hierbei definiert man die Winkel mit Zählrichtung und erlaubt auch negative Winkel.

Untersuchen Sie die Winkelposition eines Sekundenzeigers. Gehen Sie wie folgt vor.

Schritte

1. Winkelposition

../../../_images/M.1.A.png

Winkel beschreibt Winkelposition

Die Winkelposition des Sekundenzeigers wird durch die „zugehörige Uhrzeit“ angegeben - oder mit einem Winkel \(\varphi\) mit:

  • Definitionsbereich: \(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)

  • Nullpunkt: \(\varphi=0^\circ\) auf der 3-Uhr-Position

  • Zählrichtung: \(\varphi\) wird größer entgegen dem Uhrzeigersinn

Füllen Sie folgende Tabelle aus:

Zeiger-Winkelposition

\(0\,^\circ \le \varphi < 360\,^\circ\)

2 Uhr

\(30^\circ\)

12 Uhr

\(90^\circ\)

6 Uhr

\(\ldots\)

11 Uhr

\(\ldots\)

4 Uhr

\(\ldots\)

5 Uhr

\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition

\(0\,^\circ \le \varphi < 360\,^\circ\)

2 Uhr

\(30^\circ\)

12 Uhr

\(90^\circ\)

6 Uhr

\(270^\circ\)

11 Uhr

\(120^\circ\)

4 Uhr

\(330^\circ\)

5 Uhr

\(300^\circ\)

2. Periodizität

../../../_images/M.1.A_2.png

360-Grad-Periodizität

Eine einzige Zeiger-Winkelposition kann mit verschiedenen Winkeln beschrieben werden, die sich um \(360^\circ\) unterscheiden. Z. B. alle folgenden Winkel beschreiben die 2 Uhr Zeiger-Winkelposition:

\[\begin{split}\varphi &= 30^\circ \\ \varphi &= 390^\circ \\ \varphi &= 750^\circ\end{split}\]

Füllen Sie folgende Tabelle aus.

Zeiger-Winkelposition

\(0\,^\circ \le \varphi < 360\,^\circ\)

\(360\,^\circ \le \varphi < 720\,^\circ\)

2 Uhr

\(30^\circ\)

\(390^\circ\)

12 Uhr

\(90^\circ\)

\(450^\circ\)

6 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

11 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

4 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

5 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition

\(0\,^\circ \le \varphi < 360\,^\circ\)

\(360\,^\circ \le \varphi < 720\,^\circ\)

2 Uhr

\(30^\circ\)

\(390^\circ\)

12 Uhr

\(90^\circ\)

\(450^\circ\)

6 Uhr

\(270^\circ\)

\(630^\circ\)

11 Uhr

\(120^\circ\)

\(480^\circ\)

4 Uhr

\(330^\circ\)

\(690^\circ\)

5 Uhr

\(300^\circ\)

\(660^\circ\)

3. Zählrichtung

../../../_images/M.1.A_3.png

Negative Winkel

Eine einzige Zeiger-Winkelposition kann auch mit negativen Winkeln beschrieben werden, die sich um \(360^\circ\) unterscheiden. Z. B. alle folgenden Winkel beschreiben die 2 Uhr Zeiger-Winkelposition:

\[\begin{split}\varphi &= -330^\circ \\ \varphi &= -690 ^\circ \\ \varphi &= \ldots\end{split}\]
  • Der grüne Pfeil kennzeichnet die Richtung, in die \(\varphi\) größer wird.

  • Der rote Pfeil kennzeichnet die Richtung, in die \(-\varphi\) größer wird.

Füllen Sie folgende Tabelle aus.

Zeiger-Winkelposition

\(0\,^\circ \le \varphi < 360\,^\circ\)

\(0\,^\circ \le - \varphi < 360\,^\circ\)

\(-360\,^\circ < \varphi \le 0\,^\circ\)

2 Uhr

\(30^\circ\)

\(330^\circ\)

\(-330^\circ\)

12 Uhr

\(90^\circ\)

\(270^\circ\)

\(-270^\circ\)

6 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

11 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

4 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

5 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition

\(0\,^\circ \le \varphi < 360\,^\circ\)

\(0\,^\circ \le - \varphi < 360\,^\circ\)

\(-360\,^\circ < \varphi \le 0\,^\circ\)

2 Uhr

\(30^\circ\)

\(330^\circ\)

\(-330^\circ\)

12 Uhr

\(90^\circ\)

\(270^\circ\)

\(-270^\circ\)

6 Uhr

\(270^\circ\)

\(90^\circ\)

\(-90^\circ\)

11 Uhr

\(120^\circ\)

\(240^\circ\)

\(-240^\circ\)

4 Uhr

\(330^\circ\)

\(30^\circ\)

\(-30^\circ\)

5 Uhr

\(300^\circ\)

\(60^\circ\)

\(-60^\circ\)

4. Grad und Radiant

../../../_images/M.1.A_4.png

Einheiten

  • Winkel können in der Einheit Grad oder in der Einheit Radiant angegeben werden.

  • Die Aussagen zu Periodizität und Zählrichtung gelten unabhängig von der verwendeten Einheit.

Füllen Sie folgende Tabelle aus.

Zeiger-Winkelposition

\(0\,^\circ \le \varphi < 360\,^\circ\)

\(0 \le \varphi < 2 \pi\)

\(- 2 \pi < \varphi \le 0\)

2 Uhr

\(30 ^\circ\)

\(\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{11}{12} \cdot 2\pi\)

12 Uhr

\(90 ^\circ\)

\(\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{9}{12} \cdot 2\pi\)

6 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

11 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

4 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

5 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition

\(0\,^\circ \le \varphi < 360\,^\circ\)

\(0 \le \varphi < 2 \pi\)

\(- 2 \pi < \varphi \le 0\)

2 Uhr

\(30 ^\circ\)

\(\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{11}{12} \cdot 2\pi\)

12 Uhr

\(90 ^\circ\)

\(\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{9}{12} \cdot 2\pi\)

6 Uhr

\(270^\circ\)

\(\tfrac{9}{12} \cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)

11 Uhr

\(120^\circ\)

\(\tfrac{4}{12} \cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{8}{12} \cdot 2\pi\)

4 Uhr

\(330^\circ\)

\(\tfrac{11}{12}\cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)

5 Uhr

\(300^\circ\)

\(\tfrac{10}{12}\cdot 2\pi\)

\(-\tfrac{2}{12} \cdot 2\pi\)

5. Freie Wahl

../../../_images/M.1.A_5.png

Wahl von Bezeichnung, Nullpunkt und Zählrichtung

Winkel werden zur Beschreibung der Winkelposition des Zeigers verwendet. Hierbei wählt man die Bezeichnung des Winkels, den Nullpunkt und die Zählrichtung:

Verwendung

Bezeichnung

Nullpunkt

Zählrichtung

in bisherigen Aufgabenteilen

\(\varphi\)

3 Uhr

\(\circlearrowleft\)

in diesem Aufgabenteil

\(\psi\)

6 Uhr

\(\circlearrowright\)

Füllen Sie folgende Tabelle aus.

Zeiger-Winkelposition

\(0\,^\circ \le \psi < 360\,^\circ\)

\(0 \le \psi < 2 \pi\)

7 Uhr

\(30 ^\circ\)

\(\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)

9 Uhr

\(90 ^\circ\)

\(\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)

6 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

11 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

4 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

5 Uhr

\(\ldots\)

\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition

\(0\,^\circ \le \psi < 360\,^\circ\)

\(0 \le \psi < 2 \pi\)

7 Uhr

\(30 ^\circ\)

\(\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)

9 Uhr

\(90 ^\circ\)

\(\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)

6 Uhr

\(0^\circ\)

\(\tfrac{0}{12} \cdot 2\pi\)

11 Uhr

\(150^\circ\)

\(\tfrac{5}{12} \cdot 2\pi\)

4 Uhr

\(300^\circ\)

\(\tfrac{10}{12}\cdot 2\pi\)

5 Uhr

\(330^\circ\)

\(\tfrac{11}{12}\cdot 2\pi\)

Quiz

Anleitung

Der Winkel beschreibt die Winkelposition des Zeigers wie folgt:

  • Nullpunkt: Auf der 3-Uhr-Position.

  • Zählrichtung: Entgegen dem Uhrzeigersinn.

Ziehen Sie die grauen Felder auf die richtigen Bilder!