M.2.C

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Gegebene Größen:

\[\left(\alpha, \beta, \gamma \right)=\left(30 ^\circ , 150 ^\circ, 195 ^\circ \right)\]

Untersuchen Sie den gegebenen Punkte und Vektoren. Gehen Sie wie folgt vor.

1. Punktkoordinaten

Koordinaten der Punkte auf dem Einheitskreis

Die Koordinaten von Punkt A auf dem Einheitskreis sind:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\alpha \\ s_\alpha \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos 30^\circ \\ \sin 30^\circ \end{bmatrix} \\ &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen Sie die Punktkoordinaten der 3 Punkte A, B und C auf dem Einheitskreis. Füllen Sie folgende Tabelle aus - mit Werten gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Punkt

\((x,y)\)-Koordinaten

A

\(\begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix}\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\)

B

\(\begin{bmatrix} x_B \\ y_C \end{bmatrix}\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

C

\(\begin{bmatrix} x_C \\ y_C \end{bmatrix}\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

Lösung

Punkt

\((x,y)\)-Koordinaten

A

\(\begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix}\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\)

B

\(\begin{bmatrix} x_B \\ y_C \end{bmatrix}\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\)

C

\(\begin{bmatrix} x_C \\ y_C \end{bmatrix}\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}97 \\ -0{,}26 \end{bmatrix}\)

2. Einheitsvektor-Komponenten

../../../_images/M.2.C_1.png

Komponenten der Einheitsvektoren im Einheitskreis

Die \((x,y)\)-Komponenten des Einheitsvektors \(\boldsymbol e_\alpha\) sind:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{\alpha x} \\ e_{\alpha y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\alpha \\ s_\alpha \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos 30^\circ \\ \sin 30^\circ \end{bmatrix} \\ &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der 3 Einheitsvektoren \(\boldsymbol e_\alpha, \boldsymbol e_\beta\) und \(\boldsymbol e_\gamma\). Füllen Sie folgende Tabelle aus - mit Werten gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Einheitsvektor

\((x,y)\)-Komponenten

\(\boldsymbol e_\alpha\)

\(\begin{bmatrix} e_{\alpha x} \\ e_{\alpha y} \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\)

\(\boldsymbol e_\beta\)

\(\begin{bmatrix} e_{\beta x} \\ e_{\beta y} \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

\(\boldsymbol e_\gamma\)

\(\begin{bmatrix} e_{\gamma x} \\ e_{\gamma y} \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

Lösung

Einheitsvektor

\((x,y)\)-Komponenten

\(\boldsymbol e_\alpha\)

\(\begin{bmatrix} e_{\alpha x} \\ e_{\alpha y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_\alpha \\ s_\alpha \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\)

\(\boldsymbol e_\beta\)

\(\begin{bmatrix} e_{\beta x} \\ e_{\beta y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_\beta \\ s_\beta \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\)

\(\boldsymbol e_\gamma\)

\(\begin{bmatrix} e_{\gamma x} \\ e_{\gamma y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_\gamma \\ s_\gamma \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}97 \\ -0{,}26 \end{bmatrix}\)

3. Vektor-Komponenten

../../../_images/M.2.C_2.png

Vektor-Komponenten

Die \((x,y)\)-Komponenten des Vektors \(\boldsymbol u\) sind:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} &= 5 \begin{bmatrix} c_\alpha \\ s_\alpha \end{bmatrix} \\ &= 5 \begin{bmatrix} \cos 30^\circ \\ \sin 30^\circ \end{bmatrix} \\ &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 4{,}33 \\ 2{,}5 \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der 3 Vektoren \(\boldsymbol u, \boldsymbol v\) und \(\boldsymbol w\). Füllen Sie folgende Tabelle aus - mit Werten gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Vektor

\((x,y)\)-Komponenten

\(\boldsymbol u\)

\(\begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

\(\boldsymbol v\)

\(\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

\(\boldsymbol w\)

\(\begin{bmatrix} w_x \\ w_y \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

Lösung

Vektor

\((x,y)\)-Komponenten

\(\boldsymbol u\)

\(\begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} c_\alpha \\ s_\alpha \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 4{,}33 \\ 2{,}5 \end{bmatrix}\)

\(\boldsymbol v\)

\(\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} c_\beta \\ s_\beta \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} -4{,}33 \\ 2{,}5 \end{bmatrix}\)

\(\boldsymbol w\)

\(\begin{bmatrix} w_x \\ w_y \end{bmatrix} = 5\begin{bmatrix} c_\gamma \\ s_\gamma \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} -4{,}83 \\ -1{,}29 \end{bmatrix}\)

Lösung mit Python: Copy - Paste - Play

  • Copy: Source Code (siehe unten) aufklappen und kopieren.

  • Paste: Einfügen als Python-Notebook auf:

  • Play: Ausführen.

Source Code

# -*- coding: utf-8 -*-
from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(k, M, G ) = ( 10**3, 10**6, 10**9 )
(mm, cm) = ( m/1000, m/100 )
Newton = kg*m/s**2
Pa     = Newton/m**2
MPa    = M*Pa
GPa    = G*Pa
kN     = k*Newton
deg    = pi/180
half = S(1)/2

# Rounding:
import decimal
from decimal import Decimal as DX
from copy import deepcopy
def iso_round(obj, pv,
    rounding=decimal.ROUND_HALF_EVEN):
    import sympy
    """
    Rounding acc. to DIN EN ISO 80000-1:2013-08
    place value = Rundestellenwert
    """
    assert pv in set([
        # round to place value:
        1,
        0.1,
        0.01,
        0.001,
        0.0001,
        0.00001,
        ])
    objc = deepcopy(obj)
    try:
        tmp = DX(str(float(objc)))
        objc = tmp.quantize(DX(str(pv)),
            rounding=rounding)
    except:
        for i in range(len(objc)):
            tmp = DX(str(float(objc[i])))
            objc[i] = tmp.quantize(DX(str(pv)),
                rounding=rounding)
    return objc

# ---


c = 5

for p in (30*deg, 150*deg, 195*deg):
    pprint("\n")
    cp, sp = cos(p), sin(p)
    v = Matrix([cp, sp])
    pprint(iso_round(v,0.01))
    pprint(iso_round(c*v,0.01))