M.2.I

1. Betrag und Winkelposition

Gegeben ist das grüne Bezugssystem und ein Vektor über seine \((x,y)\)-Komponenten.

Berechnen Sie:

• den Betrag \(v\) des Vektors und

• die Winkelposition \(-180^\circ < \varphi \le 180^\circ,\) des Vektors - und zwar in \(^\circ\) (Grad).

Runden Sie jeweils auf Rundestellenwert \(0{,}1\):

\[\begin{split}v &\stackrel{0{,}1}{\approx} \ldots \\ \varphi & \stackrel{0{,}1}{\approx} \ldots^\circ\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}v &= \sqrt{(-2)^2 + 3^2} \\ &\stackrel{0{,}1}{\approx} 3{,}6 \\ \varphi &= 2 \arctan\tfrac{v_y}{v + v_x} \\ & \stackrel{0{,}1}{\approx} 123{,}7 ^\circ\end{split}\]

2. (x,y)-Komponenten

Gegeben ist das grüne Bezugssystem und ein Vektor über seine \((v,\varphi)\)-Komponenten (Polarkoordinaten).

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v \\ \varphi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3{,}5 \\ 120^\circ \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten (Kartesische Koordinaten) \(v_x\) und \(v_y\) - und zwar gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\begin{align*} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \end{align*}

Lösung

\begin{align*} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} v c_\varphi \\ v s_\varphi \end{bmatrix} \\ &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix}-1{,}75\\3{,}03\end{bmatrix} \end{align*}

SymPy

1. Copy: Source Code (siehe unten) aufklappen und kopieren.

2. Paste: Einfügen als Python-Notebook z.B. auf:

   • JupyterLite oder

   • JupyterLab oder

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3. Play: Ausführen.

Source Code

# -*- coding: utf-8 -*-
from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
Newton    =  kg*m/s**2
kN        =  10**3*Newton
Pa        =  Newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
import decimal
from decimal import Decimal as DX
from copy import deepcopy
def iso_round(obj, pv,
    rounding=decimal.ROUND_HALF_EVEN):
    import sympy
    """
    Rounding acc. to DIN EN ISO 80000-1:2013-08
    place value = Rundestellenwert
    """
    assert pv in set([
        # place value   #  round to:
        "1",              #  round to integer
        "0.1",            #  1st digit after decimal
        "0.01",           #  2nd
        "0.001",          #  3rd
        "0.0001",         #  4th
        "0.00001",        #  5th
        "0.000001",       #  6th
        "0.0000001",      #  7th
        "0.00000001",     #  8th
        "0.000000001",    #  9th
        "0.0000000001",   # 10th
        ])
    objc = deepcopy(obj)
    try:
        tmp = DX(str(float(objc)))
        objc = tmp.quantize(DX(pv), rounding=rounding)
    except:
        for i in range(len(objc)):
            tmp = DX(str(float(objc[i])))
            objc[i] = tmp.quantize(DX(pv), rounding=rounding)
    return objc

# ---

pprint("\nPart 1:")
(vx, vy) = ( -2,  3 )
v = Matrix((vx, vy))
r = sqrt(vx*vx + vy*vy)
pprint("v:")
tmp = r
tmp = iso_round(tmp,"0.1")
pprint(tmp)

pprint("\nφ / °:")
phi = 2*atan( vy/(r + vx) )
tmp = phi / deg
tmp = iso_round(tmp,"0.1")
pprint(tmp)

# Check:
tmp = r*cos(phi)
tmp = tmp.simplify()
assert(tmp==vx)
tmp = r*sin(phi)
tmp = tmp.simplify()
assert(tmp==vy)

pprint("\nPart 2:")
(v, p)  = (3.5, 120*deg)
c, s = cos(p), sin(p)
vx, vy = v*c, v*s
tmp = Matrix([vx, vy])
tmp = iso_round(tmp,"0.01")
pprint(tmp)

• Lieber mit eigenem SymPy und offline? Es gibt z.B. Anaconda und Miniconda.

• Statt SymPy lieber anderes CAS? Auswahl hier.