M.3.A

Gegeben ist das grüne \((x,y)\)-Bezugssystem, das blaue \((\bar x, \bar y)\)-Bezugssystem und der symmetrische Tensor \(\boldsymbol T\) über seine \((x,y)\)-Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 4 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}\end{split}\]

Der Winkel \(\varphi\) zeigt die Winkelposition des blauen Bezugssystems an (relativ zum grünen).

../../../_images/stress2.png

Berechnen Sie für alle folgenden Winkel die Tensor-Komponenten im gedrehten Bezugssystem.

\[\varphi \in \left( 10^\circ, 90^\circ, 180^\circ, -170^\circ \right)\]

Lösung

Werte gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\)

\(\varphi\)

\(\begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix}\)

\(10^\circ\)

\(\begin{bmatrix} 0{,}98 & 0{,}17 \\ -0{,}17 & 0{,}98 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} 14{,}19 & 2{,}73 \\ 2{,}73 & 5{,}81 \end{bmatrix}\)

\(90^\circ\)

\(\begin{bmatrix} 0{,}0 & 1{,}0 \\ -1{,}0 & 0{,}0 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} 7{,}0 & -4{,}0 \\ -4{,}0 & 13{,}0 \end{bmatrix}\)

\(180^\circ\)

\(\begin{bmatrix} -1{,}0 & 0{,}0 \\ 0{,}0 & -1{,}0 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} 13{,}0 & 4{,}0 \\ 4{,}0 & 7{,}0 \end{bmatrix}\)

\(-170^\circ\)

\(\begin{bmatrix} -0{,}98 & -0{,}17 \\ 0{,}17 & -0{,}98 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} 14{,}19 & 2{,}73 \\ 2{,}73 & 5{,}81 \end{bmatrix}\)

Hinweis

Die \((\bar x, \bar y)\)-Komponenten des Tensors \(\left(T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x \bar y}, T_{\bar y \bar y} \right)\) sind gleich für zwei verschiedene Winkel, wenn diese zwei Winkel sich um ein Vielfaches von \(180^\circ\) unterscheiden. D.h. \(\left(T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x \bar y}, T_{\bar y \bar y} \right)\) sind gleich für alle Winkel aus folgender Liste:

\[\varphi \in \left( \ldots, -350 ^\circ, -170 ^\circ , 10^\circ, 190 ^\circ, 370 ^\circ, \ldots \right)\]

Und \(\left(T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x \bar y}, T_{\bar y \bar y} \right)\) sind auch gleich für alle Winkel aus folgender Liste:

\[\varphi \in \left( \ldots, -360 ^\circ , -180 ^\circ , 0^\circ, 180 ^\circ, 360 ^\circ, \ldots \right)\]

Gehen Sie wie folgt vor.

1. Kosinus und Sinus

Berechnen Sie Kosinus und Sinus des Winkels gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}c_{\varphi} &\stackrel{0{,}01}{\approx} \ldots \\ s_{\varphi} &\stackrel{0{,}01}{\approx} \ldots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}c_{10^\circ} &\stackrel{0{,}01}{\approx} 0{,}98 \\ s_{10^\circ} &\stackrel{0{,}01}{\approx} 0{,}17\end{split}\]

2. Drehmatrizen

Seien \(\left(T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x \bar y}, T_{\bar y \bar y} \right)\) die \((\bar x, \bar y)\)-Komponenten des Tensors \(\boldsymbol T\). Geben Sie die drei jeweils fehlenden Einträge der Matrizen \(R_\varphi\) und \(R_\varphi^{\mathsf T}\) in der folgenden Gleichung an - und zwar abhängig von \(\varphi\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = \underbrace{ \begin{bmatrix} c_\varphi & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{bmatrix} }_{R_\varphi} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} c_\varphi & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{bmatrix} }_{R_\varphi^{\mathsf T}}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}R_\varphi &= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} c_{10^\circ} & s_{10^\circ} \\ -s_{10^\circ} & c_{10^\circ} \end{bmatrix} \\ \\ R_\varphi^{\mathsf T} &= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} c_{10^\circ} & -s_{10^\circ} \\ s_{10^\circ} & c_{10^\circ} \end{bmatrix}\end{split}\]

3. Transformierte Komponenten

Berechnen Sie gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T} \\ &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 14{,}19 & 2{,}73 \\ 2{,}73 & 5{,}81 \end{bmatrix}\end{split}\]

4. Plausibilitätskontrolle

Zeigen Sie, dass das Ergebnis plausibel ist.

Lösung

Das lässt sich am Mohrschen Kreis zeigen.

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