Tensorkomponenten

Teil 2 zu: Become King-of-Vectors-and-Tensors

Info

  • Grundlagen: Tensorkomponenten

  • Grafische Auswertung der Transformationsformeln für passive und aktive Transformation von Tensorkomponenten:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ T_{\bar x\bar y} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T} \\ \begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ T'_{xy} & T'_{yy} \end{bmatrix} &= R_\alpha^{\mathsf T} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ T_{xy} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\alpha\end{split}\]
  • Web-App

Kreis

Details

Die gegebenen Tensorkomponenten \((T_{xx}, T_{xy}, T_{yy})\) definieren sieben Punkte auf einem Kreis:

\((T_{\bar x \bar x} , T_{\bar x \bar y})\)

1

\((T_{xx}, T_{xy})\)

2

\((T_{yy}, -T_{xy})\)

3

\((\bar{T}, 0)\)

4

\((\bar{T} + r, 0)\)

5

\((\bar{T} - r, 0)\)

6

\((\bar{T}, 0 + r)\)

7

\((\bar{T}, 0 - r)\)

mit:

\[\begin{split}\bar{T} &= \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right) \\ r &= \sqrt{\left\{ \tfrac12 \left(T_{xx}-T_{yy}\right)\right\}^2 +T_{xy}^2}\end{split}\]

Ziehen Sie die Felder ins passende Diagramm.

Maximum-Winkelposition

Details

Winkel

zeigt Pos. von

bezüglich

Zählung

\(2 \varphi_1\) (rot)

\((1,0)\)

\((T_{xx},T_{xy})\)

\(\circlearrowright\)

Hinweis

Berechnung von \(\varphi_1\) mit Taschenrechner oder Programm:

\[\begin{split}\tan \varphi_1 &= \frac{T_{xy}}{T_{xx}-T_1} \\ \varphi_1 &=\arctan \frac{T_{xy}}{T_{xx}-T_1}\end{split}\]

mit \(T_1 = \bar{T} - r\).

Die Formel ist so gewählt, dass der Nenner im \(\arctan\)-Argument immer positiv ist, so dass das Vorzeichen von \(T_{xy}\) gleich dem Vorzeichen von \(\varphi_1\) ist.

Passive Transformation

Details

Winkel

zeigt Pos. von

bezüglich

Zählung

\(2 \varphi\) (rot)

\((T_{\bar x \bar x},T_{\bar x \bar y})\)

\((T_{xx}, T_{xy})\)

\(\circlearrowright\)

\(\varphi\) (blau)

\(\bar x\)

\((1,0)\)

\(\circlearrowleft\)

Test