Vektorkomponenten

Teil 1 zu: Become King-of-Vectors-and-Tensors

Zum Thema

  • Grundlagen: Vektorkomponenten

  • Grafische Auswertung der Transformationsformeln für passive und aktive Transformation von Vektorkomponenten:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} v'_{x} \\ v'_{y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\end{split}\]
  • Web-App

Kreis

Details

Die gegebenen Vektorkomponenten \((v_x, v_y)\) definieren fünf Punkte auf einem Kreis mit \(r=\sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2}\):

\((v_{\bar x} , v_{\bar y} )\)

1

\((v_x, v_y)\)

2

\((r, 0)\)

3

\((-r, 0)\)

4

\((0, r)\)

5

\((0, -r)\)

Anleitung

  • Berechnen Sie die Punkt-Positionen aus den unten in den Feldern gegebenen Komponenten \(v_x\) und \(v_y\).

  • Vergleichen Sie die berechneten Punkt-Positionen mit den Punkt-Positionen in den Diagrammen.

Beispiel: \((v_x, v_y) = (3, 4)\) führt auf \(r=5\). Die entsprechenden Punkte sieht man im ersten Diagramm.

Maximum-Winkelposition

Details

Winkel

gezählt

von

bis zu

\(\varphi_1\)

\(\circlearrowright\)

\(\color{red}{|}\)

\(\color{red}{¦}\)

Berechnung von \(\varphi_1\):

\[\begin{split}\tan \frac{\varphi_1}{2}&=\frac{v_y}{v_x + r }\\ \varphi_1 &=2 \arctan \frac{v_y}{v_x + r }\end{split}\]

Anleitung

  • Berechnen Sie die Winkelpositionen \(\varphi_1\) - oder schätzen Sie \(\varphi_1\). Beispiel: Mit \((v_x, v_y) = (3, 4)\) und \(r=5\) ergibt sich \(\varphi_1\approx 53\,^\circ\). Den Winkel \(\varphi_1\) liest man näherungsweise auch im Diagramm ab - und zwar zwischen der durchgezogenen und der gestrichelten roten Linie.

  • Vergleichen Sie diese Winkelpositionen mit den in den Feldern angegebenen Winkelpositionen.

  • Ziehen Sie die Felder in das jeweils passende Diagramm.

Bemerkung

Um \(\varphi_1\) anzugeben im Intervall \(-180\,^\circ < \varphi_1 \le 180\,^\circ\), muss man ggf. vom abgelesenen Winkel \(360\,^\circ\) subtrahieren. Dies ändert nichts an der mit \(\varphi_1\) beschriebenen Winkelposition.

Passive Transformation

Details

Winkel

gezählt

von

bis zu

\(\varphi\)

\(\circlearrowright\)

\(\color{red}{|}\)

\(\color{red}{¦}\)

\(\varphi\)

\(\circlearrowleft\)

\(\color{blue}{¦}\)

\(\color{blue}{|}\)

Anleitung

  • Berechnen Sie die Komponenten \((v_{\bar x},v_{\bar y})\) - oder schätzen Sie sie. Beispiel: Mit \((v_x, v_y) = (3, 4)\) und \(\varphi=30\,^\circ\) ist:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos 30\,^\circ & \sin 30\,^\circ \\ -\sin 30\,^\circ & \cos 30\,^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \\ &\approx \begin{bmatrix} 4.60 \\ 1.96 \end{bmatrix}\end{split}\]

    Die Komponenten \((v_{\bar x},v_{\bar y})\) liest man geschätzt auch ab als die Punktkoordinaten des Punktes am Ende der gestrichelten roten Linie.

  • Vergleichen Sie diese Komponenten mit den in den Feldern angegebenen Komponenten.

Aktive Transformation

Details

Winkel

gezählt

von

bis zu

\(-\alpha\)

\(\circlearrowright\)

\(\color{red}{|}\)

\(\color{red}{¦}\)

\(\alpha\)

\(\circlearrowleft\)

\(\color{red}{|}\)

\(\color{red}{¦}\)

Anleitung

  • Berechnen Sie die Komponenten \((v'_x, v'_y)\) - oder schätzen Sie sie.

  • Vergleichen Sie diese Komponenten mit den in den Feldern angegebenen Komponenten.

Beispiel: Mit dem schon zuvor verwendeten \((v_x, v_y) = (3, 4)\) und \(\alpha=-30\,^\circ\) ist:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v'_x \\ v'_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos( -30\,^\circ) & -\sin (-30\,^\circ) \\ \sin( -30\,^\circ) & \cos (-30\,^\circ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos 30\,^\circ & \sin 30\,^\circ \\ -\sin 30\,^\circ & \cos 30\,^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \\ &\approx \begin{bmatrix} 4.60 \\ 1.96 \end{bmatrix}\end{split}\]

Die Komponenten \((v'_x, v'_y)\) liest man geschätzt auch ab als die Punktkoordinaten des Punktes am Ende der gestrichelten roten Linie. Als Beispiele werden negative \(\alpha\) verwendet, nur, um mit den Beispielen von oben vergleichen zu können.

Test

Passive und aktive Transformation von Vektorkomponenten.