2.1.Q

Video

FEM-Lösung

siehe R2.A

../../../_images/2.1.Q.png

Gegebene Symbole: \(F, E, A, l\)

Unvollständige Lösung mit (2·k + 2·s - r = 8) Gln./Unbekannten auf einer Seite

../../../_images/2.1.Q_all.png

Bezugssystem definieren und Knoten und Stäbe nummerieren. 1. Gleichgewicht, 2. Stab-Einheitsvektoren und (genäherte) Stabverlängerungen, 3. Elastizität, 4. Gleichungssystem und Lösung, 5. Einheiten und Plausibilität prüfen. Gelb = Gegeben. Orange = Unbekannt.

SymPy

Nachfolgend ein Programm, dass Sie ausführen können:

  • Auf dem PC z.B. mit Anaconda.

  • Im Browser (online) in drei Schritten:

    1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

    2. Paste: Source Code als Python-Notebook einfügen z.B. auf:

    3. Play: Ausführen.

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import S, var, sqrt, Eq, solve, pprint, Matrix, pi, cos, sin, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
kN        =  10**3*N
Pa        =  N/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Parameters:
F, E, A, l = var("F, E, A, l")
EA = E*A

# Shortcuts:
p1, p2, p3 = 45 *deg, 90 *deg, 135 *deg
c1, c2, c3 = cos(p1), cos(p2), cos(p3)
s1, s2, s3 = sin(p1), sin(p2), sin(p3)

r = sqrt(2)
c = r / 2

# Symbols:
S1, S2, S2p, S3    = var("S1, S2, S2p, S3")
dl1, dl2, dl3 = var("dl1, dl2, dl3")
u4x, u4y      = var("u4x, u4y")

sub_list = [
    ( F,        5 *kN     ),
    ( E,      200 *GPa    ),
    ( A,       25 *mm**2  ),
    ( l,     1707 *mm     ),
    ]

symm = True
# symm = False

# Equations:
if not symm:
    unks = [S1, S2, S3, dl1, dl2, dl3, u4x, u4y]
    eqns = [
        Eq(  0, S1*c1 + S2*c2 + S3*c3       ),
        Eq(  0, S1*s1 + S2*s2 + S3*s3 + F   ),
        Eq(          dl1 ,  c*( u4x + u4y)  ),
        Eq(          dl2 ,  u4y             ),
        Eq(          dl3 ,  c*(-u4x + u4y)  ),
        Eq(          dl1 ,  S1/EA * r*l     ),
        Eq(          dl2 ,  S2/EA * l       ),
        Eq(          dl3 ,  S3/EA * r*l     ),
        ]
else:
    unks = [S1, S2p, dl1, dl2, u4x, u4y]
    eqns = [
        Eq(             0,  u4x             ),
        Eq(    0, S1*s1 + S2p + F/2         ), 
        Eq(          dl1 ,  c*( u4x + u4y)  ),
        Eq(          dl2 ,  u4y             ),
        Eq(          dl1 ,  S1/EA * r*l     ),
        Eq(          dl2 ,  S2p/(EA/2) * l  ),
        ]

sol = solve(eqns, unks)
fac = F*l / EA
if not symm:
    S1, S2, S3, dl1, dl2, dl3, u4x, u4y = \
        sol[S1],sol[S2],sol[S3],sol[dl1],sol[dl2],sol[dl3],sol[u4x],sol[u4y]

    pprint("\n(S₁, S₂, S₃) / F:")
    for S in [S1, S2, S3]:
        tmp = S / F
        tmp = tmp.simplify()
        pprint(tmp)

    pprint("\n(Δl₁, Δl₂, Δl₃) / ( Fl / (EA) ):")
    for s in [dl1, dl2, dl3]:
        tmp = s / fac
        tmp = tmp.simplify()
        pprint(tmp)
    pprint("\n(u4x, u4y) / ( Fl / (EA) ):")
    tmp = Matrix([u4x, u4y])
    tmp /= fac
    tmp = tmp.applyfunc(simplify)
    pprint(tmp)
    pprint("\nu4y / mm:")
    tmp = u4y
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    tmp /= mm
    tmp = iso_round(tmp, 5)
    pprint(tmp)

elif symm:
    S1, dl1, dl2, u4x, u4y = \
        sol[S1],sol[dl1],sol[dl2],sol[u4x],sol[u4y]
    S2p = sol[S2p]
    pprint("\n(S₁, S₂') / F:")
    for S in [S1, S2p]:
        tmp = S / F
        tmp = tmp.simplify()
        pprint(tmp)

    pprint("\n(Δl₁, Δl₂) / (Fl/EA):")
    for s in [dl1, dl2]:
        tmp = s / fac
        tmp = tmp.simplify()
        pprint(tmp)

    pprint("\n(u4x, u4y) / (Fl/EA):")
    tmp = Matrix([u4x, u4y])
    tmp /= fac
    tmp = tmp.simplify()
    pprint(tmp)
    
    pprint("\nu4y / mm:")
    tmp = u4y
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    tmp /= mm
    tmp = iso_round(tmp, 5)
    pprint(tmp)


              
(S₁, S₂') / F:
     √2
-1 + ──
     2 
     √2
-1 + ──
     2 
                     
(Δl₁, Δl₂) / (Fl/EA):
1 - √2
-2 + √2
                     
(u4x, u4y) / (Fl/EA):
None
         
u4y / mm:
-0.99994

Statt SymPy lieber anderes CAS (Computeralgebrasystem) verwenden? Eine Auswahl verschiedener CAS gibt es hier.

Vollständige Lösung mit (2·k + 2·s + r = 20) Gln./Unbekannten auf einer Seite

../../../_images/2.1.Q_complete_all.png

SymPy

Nachfolgend ein Programm, dass Sie ausführen können:

  • Auf dem PC z.B. mit Anaconda.

  • Im Browser (online) in drei Schritten:

    1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

    2. Paste: Source Code als Python-Notebook einfügen z.B. auf:

    3. Play: Ausführen.

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import S, var, sqrt, Eq, solve, pprint, Matrix, pi, cos, sin, simplify, zeros

# Units:
N         =  kg*m/s**2
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
kN        =  10**3*N
Pa        =  N/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Parameters:
F, E, A, l = var("F, E, A, l")
EA = E*A

sub_list = [
    ( F,        5 *kN     ),
    ( E,      200 *GPa    ),
    ( A,       25 *mm**2  ),
    ( l,     1707 *mm     ),
    ]

# Shortcuts:
p1, p2, p3 = 45 *deg, 90 *deg, 135 *deg
c1, c2, c3 = cos(p1), cos(p2), cos(p3)
s1, s2, s3 = sin(p1), sin(p2), sin(p3)
l1, l2, l3 = sqrt(2)*l, l, sqrt(2)*l

# Symbols:
S1, S2, S3    = var("S1, S2, S3")
dl1, dl2, dl3 = var("dl1, dl2, dl3")

u1x, u1y      = var("u1x, u1y")
u2x, u2y      = var("u2x, u2y")
u3x, u3y      = var("u3x, u3y")
u4x, u4y      = var("u4x, u4y")

u1 = Matrix([u1x, u1y])
u2 = Matrix([u2x, u2y])
u3 = Matrix([u3x, u3y])
u4 = Matrix([u4x, u4y])

R1x, R1y      = var("R1x, R1y")
R2x, R2y      = var("R2x, R2y")
R3x, R3y      = var("R3x, R3y")

R1 = Matrix([R1x, R1y])
R2 = Matrix([R2x, R2y])
R3 = Matrix([R3x, R3y])

e1 = Matrix([c1, s1])
e2 = Matrix([c2, s2])
e3 = Matrix([c3, s3])

Fv = Matrix([0, -F])

zero = Matrix([0, 0])

# Equations:
unks = [S1,S2,S3,\
        dl1,dl2,dl3,\
        u1x,u1y, u2x,u2y, u3x,u3y, u4x,u4y,\
        R1x,R1y, R2x,R2y, R3x,R3y
        ]

eqns = [
    Eq(          S1 ,  EA * dl1 / l1      ),
    Eq(          S2 ,  EA * dl2 / l2      ),
    Eq(          S3 ,  EA * dl3 / l3      ),
    Eq(          dl1 ,  e1.dot(u4 - u1 )  ),
    Eq(          dl2 ,  e2.dot(u4 - u2 )  ),
    Eq(          dl3 ,  e3.dot(u4 - u3 )  ),
    Eq(                 R1 + S1*e1, zero  ),
    Eq(                 R2 + S2*e2, zero  ),
    Eq(                 R3 + S3*e3, zero  ),
    Eq( Fv - S1*e1 - S2*e2 - S3*e3, zero  ), 
    Eq(                         u1, zero  ),
    Eq(                         u2, zero  ),
    Eq(                         u3, zero  ),
    ]

sol = solve(eqns, unks)

pprint("\n(S₁, S₂, S₃) / F:")
S1, S2, S3 = sol[S1], sol[S2], sol[S3]
for S in [S1, S2, S3]:
    tmp = S / F
    tmp = tmp.simplify()
    pprint(tmp)

pprint("\n(Δl₁, Δl₂, Δl₃) / ( Fl / (EA) ):")
dl1, dl2, dl3 = sol[dl1], sol[dl2], sol[dl3]
fac = F*l / EA
for dl in [dl1, dl2, dl3]:
    tmp = dl / fac
    tmp = tmp.simplify()
    pprint(tmp)

pprint("\n(u4x, u4y) / ( Fl / (EA) ):")
tmp = Matrix([sol[u4x], sol[u4y]])
tmp /= fac
tmp = tmp.applyfunc(simplify)
pprint(tmp)

pprint("\nu4y / mm:")
tmp = sol[u4y]
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= mm
tmp = iso_round(tmp, 5)
pprint(tmp)

                 
(S₁, S₂, S₃) / F:
     √2
-1 + ──
     2 
-2 + √2
     √2
-1 + ──
     2 
                                
(Δl₁, Δl₂, Δl₃) / ( Fl / (EA) ):
1 - √2
-2 + √2
1 - √2
                           
(u4x, u4y) / ( Fl / (EA) ):
⎡   0   ⎤
⎢       ⎥
⎣-2 + √2⎦
         
u4y / mm:
-0.99994

Statt SymPy lieber anderes CAS (Computeralgebrasystem) verwenden? Eine Auswahl verschiedener CAS gibt es hier.

Untersuchen Sie die Struktur aus drei Stäben mit E-Modul \(E\) und Querschnittsfläche \(A\).

Verwenden Sie folgende Abkürzungen:

\begin{align*} \begin{bmatrix} c_1 \\ s_1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos \varphi_1 \\ \sin \varphi_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tfrac{\sqrt 2}{2} \\ \tfrac{\sqrt 2}{2} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} c_2 \\ s_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos \varphi_2 \\ \sin \varphi_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} c_3 \\ s_3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos \varphi_3 \\ \sin \varphi_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \tfrac{\sqrt 2}{2} \\ \tfrac{\sqrt 2}{2} \end{bmatrix} \end{align*}

Gehen Sie wie folgt vor:

a) Gleichgewicht

Machen Sie einen Knotenschnitt am Knoten 4. Geben Sie zwei Gleichgewichtsbedingungen an.

Lösung

../../../_images/2.1.Q_1.png

b) Kinematik: Einheitsvektoren und Verlängerungen

Geben Sie die (genäherten) Stabverlängerungen \(\Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3\) an abhängig von den \((x,y)\)-Komponenten \((u_{4x}, u_{4y})\) des Verschiebungsvektors \(\boldsymbol u_4\) von Knoten 4.

Lösung

\((x,y)\)-Komponenten der Einheitsvektoren:

\begin{align*} \begin{bmatrix} e_{1x} \\ e_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} {{c_1}} \\ {{s_1}} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{2x} \\ e_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} {{c_2}} \\ {{s_2}} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{3x} \\ e_{3y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} {{c_3}} \\ {{s_3}} \end{bmatrix} \end{align*}

Stabverlängerungen:

\begin{align*} \Delta l_1 &= \begin{bmatrix} {{c_1}} & {{s_1}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{4x} \\ u_{4y} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{\sqrt2}{2} & \tfrac{\sqrt2}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{4x} \\ u_{4y} \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{\sqrt2}{2} (u_{4x} + u_{4y})\tag{3} \\ \Delta l_2 &= \begin{bmatrix} {{c_2}} & {{s_2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{4x} \\ u_{4y} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{4x} \\ u_{4y} \end{bmatrix} \\ &= u_{4y}\tag{4} \\ \Delta l_3 &= \begin{bmatrix} {{c_3}} & {{s_3}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{4x} \\ u_{4y} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{-\sqrt2}{2} & \tfrac{\sqrt2}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{4x} \\ u_{4y} \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{\sqrt2}{2} (-u_{4x} + u_{4y})\tag{5} \end{align*}

c) Elastizität

Geben Sie die genäherten Stabverlängerungen an abhängig von den Stab-Zugkräften und den gegebenen Symbolen.

Lösung

Die Stäbe 1 und 3 haben die Länge \(\sqrt 2 l\). Und Stab 2 hat die Länge \(l\).

\begin{align} \Delta l_1 &= \tfrac{S_1}{EA} \sqrt 2 l \tag{6}\\ \Delta l_2 &= \tfrac{S_2}{EA} l \tag{7}\\ \Delta l_3 &= \tfrac{S_3}{EA} \sqrt 2 l \tag{8} \end{align}

d) Gleichungssystem und Lösung

Berechnen Sie abhängig von den gegebenen Symbolen:

\begin{align*} S_1 &= \ldots F \\ S_2 &= \ldots F \\ S_3 &= \ldots F \\ \Delta l_1 &= \ldots \frac{Fl}{EA} \\ \Delta l_2 &= \ldots \frac{Fl}{EA} \\ \Delta l_3 &= \ldots \frac{Fl}{EA} \\ u_{4x} &= \ldots \frac{Fl}{EA} \\ u_{4y} &= \ldots \frac{Fl}{EA} \end{align*}

Berechnen Sie außerdem \(u_{4y}\) für folgende Größen:

\begin{align*} F &= 5\,\mathrm{kN} \\ E &= 200\,\mathrm{GPa} \\ A &= 25\,\mathrm{mm}^2 \\ l &= 1707\,\mathrm{mm} \end{align*}

Und zwar in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}00001\):

\[u_{4y} \stackrel{\small{0{,}00001}}{\approx} \ldots \, \mathrm{mm}\]

Lösung

8 Gleichungen zur Berechnung der 8 Unbekannten \((S_1, S_2, S_3, \Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3, u_{4x}, u_{4y})\):

\begin{align*} 0 &= S_1 c_1 + S_2 c_2 + S_3 c_1 \Leftrightarrow 0 = S_1 \tfrac{\sqrt 2}{2} + S_2 \cdot 0 + S_3 \tfrac{\sqrt 2}{2} \tag{1}\\ 0 &= S_1 s_1 + S_2 s_2 + S_3 s_3 + F \Leftrightarrow 0 = S_1 \tfrac{\sqrt 2}{2} +S_2 \cdot 1 + S_3 \tfrac{\sqrt 2}{2} + F\tag{2}\\ \Delta l_1 &= \tfrac{\sqrt2}{2} (u_{4x} + u_{4y}) \tag{3}\\ \Delta l_2 &= u_{4y} \tag{4} \\ \Delta l_3 &= \tfrac{\sqrt2}{2} (-u_{4x} + u_{4y})\tag{5}\\ \Delta l_1 &= \tfrac{S_1}{EA} \sqrt 2 l \tag{6}\\ \Delta l_2 &= \tfrac{S_2}{EA} l \tag{7}\\ \Delta l_3 &= \tfrac{S_3}{EA} \sqrt 2 l\tag{8} \end{align*}

Lösung:

\begin{align*} S_1 &= \left(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) F \notag \\ S_2 &= \left(-2 + \sqrt{2} \right) F \notag \\ S_3 &= \left(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) F \notag \\ \Delta l_1 &= \left( - \sqrt{2} + 1 \right) \frac{Fl}{EA} \notag \\ \Delta l_2 &= \left( -2 + \sqrt{2} \right) \frac{Fl}{EA} \notag \\ \Delta l_3 &= \left( - \sqrt{2} + 1 \right) \frac{Fl}{EA} \notag \\ u_{4x} &= 0 \cdot \frac{Fl}{EA}\notag \\ u_{4y} &= \left( -2 + \sqrt{2} \right) \frac{Fl}{EA} \notag \\ \notag \\ u_{4y} &\stackrel{\small{0{,}00001}}{\approx} -0{,}99994\,\mathrm{mm} \end{align*}

SymPy

Nachfolgend ein Programm, dass Sie ausführen können:

  • Auf dem PC z.B. mit Anaconda.

  • Im Browser (online) in drei Schritten:

    1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

    2. Paste: Source Code als Python-Notebook einfügen z.B. auf:

    3. Play: Ausführen.

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import S, var, sqrt, Eq, solve, pprint, Matrix, pi, cos, sin, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
kN        =  10**3*N
Pa        =  N/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Parameters:
F, E, A, l = var("F, E, A, l")
EA = E*A

# Shortcuts:
p1, p2, p3 = 45 *deg, 90 *deg, 135 *deg
c1, c2, c3 = cos(p1), cos(p2), cos(p3)
s1, s2, s3 = sin(p1), sin(p2), sin(p3)

r = sqrt(2)
c = r / 2

# Symbols:
S1, S2, S2p, S3    = var("S1, S2, S2p, S3")
dl1, dl2, dl3 = var("dl1, dl2, dl3")
u4x, u4y      = var("u4x, u4y")

sub_list = [
    ( F,        5 *kN     ),
    ( E,      200 *GPa    ),
    ( A,       25 *mm**2  ),
    ( l,     1707 *mm     ),
    ]

symm = True
# symm = False

# Equations:
if not symm:
    unks = [S1, S2, S3, dl1, dl2, dl3, u4x, u4y]
    eqns = [
        Eq(  0, S1*c1 + S2*c2 + S3*c3       ),
        Eq(  0, S1*s1 + S2*s2 + S3*s3 + F   ),
        Eq(          dl1 ,  c*( u4x + u4y)  ),
        Eq(          dl2 ,  u4y             ),
        Eq(          dl3 ,  c*(-u4x + u4y)  ),
        Eq(          dl1 ,  S1/EA * r*l     ),
        Eq(          dl2 ,  S2/EA * l       ),
        Eq(          dl3 ,  S3/EA * r*l     ),
        ]
else:
    unks = [S1, S2p, dl1, dl2, u4x, u4y]
    eqns = [
        Eq(             0,  u4x             ),
        Eq(    0, S1*s1 + S2p + F/2         ), 
        Eq(          dl1 ,  c*( u4x + u4y)  ),
        Eq(          dl2 ,  u4y             ),
        Eq(          dl1 ,  S1/EA * r*l     ),
        Eq(          dl2 ,  S2p/(EA/2) * l  ),
        ]

sol = solve(eqns, unks)
fac = F*l / EA
if not symm:
    S1, S2, S3, dl1, dl2, dl3, u4x, u4y = \
        sol[S1],sol[S2],sol[S3],sol[dl1],sol[dl2],sol[dl3],sol[u4x],sol[u4y]

    pprint("\n(S₁, S₂, S₃) / F:")
    for S in [S1, S2, S3]:
        tmp = S / F
        tmp = tmp.simplify()
        pprint(tmp)

    pprint("\n(Δl₁, Δl₂, Δl₃) / ( Fl / (EA) ):")
    for s in [dl1, dl2, dl3]:
        tmp = s / fac
        tmp = tmp.simplify()
        pprint(tmp)
    pprint("\n(u4x, u4y) / ( Fl / (EA) ):")
    tmp = Matrix([u4x, u4y])
    tmp /= fac
    tmp = tmp.applyfunc(simplify)
    pprint(tmp)
    pprint("\nu4y / mm:")
    tmp = u4y
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    tmp /= mm
    tmp = iso_round(tmp, 5)
    pprint(tmp)

elif symm:
    S1, dl1, dl2, u4x, u4y = \
        sol[S1],sol[dl1],sol[dl2],sol[u4x],sol[u4y]
    S2p = sol[S2p]
    pprint("\n(S₁, S₂') / F:")
    for S in [S1, S2p]:
        tmp = S / F
        tmp = tmp.simplify()
        pprint(tmp)

    pprint("\n(Δl₁, Δl₂) / (Fl/EA):")
    for s in [dl1, dl2]:
        tmp = s / fac
        tmp = tmp.simplify()
        pprint(tmp)

    pprint("\n(u4x, u4y) / (Fl/EA):")
    tmp = Matrix([u4x, u4y])
    tmp /= fac
    tmp = tmp.simplify()
    pprint(tmp)
    
    pprint("\nu4y / mm:")
    tmp = u4y
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    tmp /= mm
    tmp = iso_round(tmp, 5)
    pprint(tmp)


              
(S₁, S₂') / F:
     √2
-1 + ──
     2 
     √2
-1 + ──
     2 
                     
(Δl₁, Δl₂) / (Fl/EA):
1 - √2
-2 + √2
                     
(u4x, u4y) / (Fl/EA):
None
         
u4y / mm:
-0.99994

Statt SymPy lieber anderes CAS (Computeralgebrasystem) verwenden? Eine Auswahl verschiedener CAS gibt es hier.

e) Symmetrie

Zeigen Sie, dass Sie bei Ausnutzung der Symmetrie dieselbe Lösung erhalten.

Lösung

../../../_images/2.1.Q_symm.png

6 Gleichungen zur Berechnung der 6 Unbekannten \((S_1, S_2', \Delta l_1, \Delta l_2, u_{4x}, u_{4y})\) und Lösung:

\begin{align*} 0 &= u_{4x} \tag{1}\\ 0 &= \tfrac 1 2 F + S_1 c_1 + S_2' \tag{2} \\ \Delta l_1 &= \tfrac{\sqrt2}{2} (u_{4x} + u_{4y}) \tag{3} \\ \Delta l_2 &= u_{4y} \tag{4} \\ \Delta l_1 &= \tfrac{S_1}{EA} \sqrt 2 l \tag{5} \\ \Delta l_2 &= \tfrac 1 2 \tfrac{S_2}{EA} l \tag{6} \\ \notag\\ S_1 &= \left(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) F \notag \\ S_2' &= \tfrac 1 2 \left(-2 + \sqrt{2} \right) F = \tfrac12 S_2 \notag \\ \Delta l_1 &= \left( - \sqrt{2} + 1 \right) \frac{Fl}{EA} \notag \\ \Delta l_2 &= \left( -2 + \sqrt{2} \right) \frac{Fl}{EA} \notag \\ u_{4x} &= 0 \cdot \frac{Fl}{EA}\notag \\ u_{4y} &= \left( -2 + \sqrt{2} \right) \frac{Fl}{EA} \notag \end{align*}

SymPy

Nachfolgend ein Programm, dass Sie ausführen können:

  • Auf dem PC z.B. mit Anaconda.

  • Im Browser (online) in drei Schritten:

    1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

    2. Paste: Source Code als Python-Notebook einfügen z.B. auf:

    3. Play: Ausführen.

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import S, var, sqrt, Eq, solve, pprint, Matrix, pi, cos, sin, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
kN        =  10**3*N
Pa        =  N/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Parameters:
F, E, A, l = var("F, E, A, l")
EA = E*A

# Shortcuts:
p1, p2, p3 = 45 *deg, 90 *deg, 135 *deg
c1, c2, c3 = cos(p1), cos(p2), cos(p3)
s1, s2, s3 = sin(p1), sin(p2), sin(p3)

r = sqrt(2)
c = r / 2

# Symbols:
S1, S2, S2p, S3    = var("S1, S2, S2p, S3")
dl1, dl2, dl3 = var("dl1, dl2, dl3")
u4x, u4y      = var("u4x, u4y")

sub_list = [
    ( F,        5 *kN     ),
    ( E,      200 *GPa    ),
    ( A,       25 *mm**2  ),
    ( l,     1707 *mm     ),
    ]

symm = True
# symm = False

# Equations:
if not symm:
    unks = [S1, S2, S3, dl1, dl2, dl3, u4x, u4y]
    eqns = [
        Eq(  0, S1*c1 + S2*c2 + S3*c3       ),
        Eq(  0, S1*s1 + S2*s2 + S3*s3 + F   ),
        Eq(          dl1 ,  c*( u4x + u4y)  ),
        Eq(          dl2 ,  u4y             ),
        Eq(          dl3 ,  c*(-u4x + u4y)  ),
        Eq(          dl1 ,  S1/EA * r*l     ),
        Eq(          dl2 ,  S2/EA * l       ),
        Eq(          dl3 ,  S3/EA * r*l     ),
        ]
else:
    unks = [S1, S2p, dl1, dl2, u4x, u4y]
    eqns = [
        Eq(             0,  u4x             ),
        Eq(    0, S1*s1 + S2p + F/2         ), 
        Eq(          dl1 ,  c*( u4x + u4y)  ),
        Eq(          dl2 ,  u4y             ),
        Eq(          dl1 ,  S1/EA * r*l     ),
        Eq(          dl2 ,  S2p/(EA/2) * l  ),
        ]

sol = solve(eqns, unks)
fac = F*l / EA
if not symm:
    S1, S2, S3, dl1, dl2, dl3, u4x, u4y = \
        sol[S1],sol[S2],sol[S3],sol[dl1],sol[dl2],sol[dl3],sol[u4x],sol[u4y]

    pprint("\n(S₁, S₂, S₃) / F:")
    for S in [S1, S2, S3]:
        tmp = S / F
        tmp = tmp.simplify()
        pprint(tmp)

    pprint("\n(Δl₁, Δl₂, Δl₃) / ( Fl / (EA) ):")
    for s in [dl1, dl2, dl3]:
        tmp = s / fac
        tmp = tmp.simplify()
        pprint(tmp)
    pprint("\n(u4x, u4y) / ( Fl / (EA) ):")
    tmp = Matrix([u4x, u4y])
    tmp /= fac
    tmp = tmp.applyfunc(simplify)
    pprint(tmp)
    pprint("\nu4y / mm:")
    tmp = u4y
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    tmp /= mm
    tmp = iso_round(tmp, 5)
    pprint(tmp)

elif symm:
    S1, dl1, dl2, u4x, u4y = \
        sol[S1],sol[dl1],sol[dl2],sol[u4x],sol[u4y]
    S2p = sol[S2p]
    pprint("\n(S₁, S₂') / F:")
    for S in [S1, S2p]:
        tmp = S / F
        tmp = tmp.simplify()
        pprint(tmp)

    pprint("\n(Δl₁, Δl₂) / (Fl/EA):")
    for s in [dl1, dl2]:
        tmp = s / fac
        tmp = tmp.simplify()
        pprint(tmp)

    pprint("\n(u4x, u4y) / (Fl/EA):")
    tmp = Matrix([u4x, u4y])
    tmp /= fac
    tmp = tmp.simplify()
    pprint(tmp)
    
    pprint("\nu4y / mm:")
    tmp = u4y
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    tmp /= mm
    tmp = iso_round(tmp, 5)
    pprint(tmp)


              
(S₁, S₂') / F:
     √2
-1 + ──
     2 
     √2
-1 + ──
     2 
                     
(Δl₁, Δl₂) / (Fl/EA):
1 - √2
-2 + √2
                     
(u4x, u4y) / (Fl/EA):
None
         
u4y / mm:
-0.99994

Statt SymPy lieber anderes CAS (Computeralgebrasystem) verwenden? Eine Auswahl verschiedener CAS gibt es hier.