A.0.8 Tensor-Komponenten

Beispiel-Aufgaben

• Passive Transformation: 2.2.C

• Aktive Transformation: 2.2.E

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Aktive Transformation

Merkzettel: Aktiv = 1 Bezugssystem, 2 Tensoren, Pfeildrehung 2α

Es gibt:

• das \(\left(x, y\right)\)-System

• den Tensor \(\boldsymbol T\) und den Tensor \(\boldsymbol T'\)

• den Winkel \(\alpha\), um den \(\boldsymbol T'\) relativ zu \(\boldsymbol T\) gedreht ist

• \(\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix}\): Die \(\left(x, y\right)\)-Komponenten des Tensors

• \(\begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ \mathsf{sym} & T'_{yy} \end{bmatrix}\): Die \((x, y)\)-Komponenten des gedrehten Tensors

\begin{align} \begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ \mathsf{sym} & T'_{yy} \end{bmatrix} = R_\alpha \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\alpha^{\mathsf T} \end{align}

mit \(R_\alpha = \begin{bmatrix}c_\alpha & -s_\alpha \\s_\alpha & c_\alpha\end{bmatrix}\) und \(R_\alpha^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\alpha\).

Mit den Abkürzungen:

\begin{align} \bar{T} &= \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right) & c &= c_{2\alpha} & c' &= c_{2\alpha\pm 180^\circ}\\ \tilde T &= \tfrac 12 \left( T_{xx} - T_{yy}\right) & s &= s_{2\alpha} & s' &= s_{2\alpha\pm 180^\circ}\\ \end{align}

lässt sich die Transformationsformel umformen:

\begin{align} \begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ \mathsf{sym} & T'_{yy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} + \tilde T c - T_{xy} s & \tilde T s + T_{xy} c\\ \mathsf{sym} & \bar{T} - \tilde T c + T_{xy} s \end{bmatrix} \end{align}

Die Visualisierung als Zeigerdrehung auf den Punkt \(P\) gilt wegen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T'_{xx} \\ T'_{xy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c & -s \\ s & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix}\end{split}\]

Und den Punkt \(P'\) diametral gegenüber entsteht wegen:

\begin{align} \begin{bmatrix} T'_{yy} \\ - T'_{xy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -c & s \\ - s & - c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c' & -s' \\ s' & c' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \end{align}

Beispiel 1

\[\begin{split}\alpha &= 25^\circ \qquad \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ \mathsf{sym} & 4 \end{bmatrix} \\ \leadsto \begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ \mathsf{sym} & T'_{yy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{25^\circ} & -s_{25^\circ} \\ s_{25^\circ} & c_{25^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ \mathsf{sym} & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{25^\circ} & s_{25^\circ} \\ -s_{25^\circ} & c_{25^\circ} \end{bmatrix} \stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \left[\begin{matrix}-3{,}94 & 1{,}3\\\mathsf{sym} & 6{,}94\end{matrix}\right] \\ \leadsto \begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ \mathsf{sym} & T'_{yy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1{,}5 - 2{,}5 c_{50^\circ} - 5 s_{50^\circ} & - 2{,}5 s_{50^\circ} + 5 c_{50^\circ}\\ \mathsf{sym} & 1{,}5 + 2{,}5 c_{50^\circ} + 5 s_{50^\circ} \end{bmatrix} \stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \left[\begin{matrix}-3{,}94 & 1{,}3\\\mathsf{sym} & 6{,}94\end{matrix}\right]\end{split}\]

Beispiel 2

\[\begin{split}\alpha &= 50^\circ \qquad \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ \mathsf{sym} & 5 \end{bmatrix} \\ \leadsto \begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ \mathsf{sym} & T'_{yy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{50^\circ} & -s_{50^\circ} \\ s_{50^\circ} & c_{50^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ \mathsf{sym} & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{50^\circ} & s_{50^\circ} \\ -s_{50^\circ} & c_{50^\circ} \end{bmatrix} \stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \left[\begin{matrix}4{,}49 & -2{,}61\\\mathsf{sym} & -0{,}49\end{matrix}\right]\end{split}\]

Beispiel 3

\[\begin{split}- \alpha &= 60^\circ \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = -60^\circ \qquad \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ \mathsf{sym} & 0 \end{bmatrix} \\ \leadsto \begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ \mathsf{sym} & T'_{yy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{-60^\circ} & -s_{-60^\circ} \\ s_{-60^\circ} & c_{-60^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ \mathsf{sym} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{-60^\circ} & s_{-60^\circ} \\ -s_{-60^\circ} & c_{-60^\circ} \end{bmatrix} \stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \left[\begin{matrix}-0{,}48 & -1{,}17\\ \mathsf{sym} & 5{,}48\end{matrix}\right]\end{split}\]

Passive Transformation

Merkzettel: Passiv = 2 Bezugssysteme, 1 Tensor, 1 Bezugssystem, Pfeildrehung -2φ

Es gibt:

• das \(\left(x, y\right)\)-System,

• das \(\left(\bar x, \bar y\right)\)-System

• den Winkel \(\varphi\), um den das \(\left(\bar x, \bar y\right)\)-System relativ zum \((x, y)\)-System gedreht ist

• \(\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix}\): Die \(\left(x, y\right)\)-Komponenten des Tensors

• \(\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix}\): Die \((\bar x, \bar y)\)-Komponenten des Tensors

\begin{align} \label{trafo_tensor_eq_passive_matrix} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T} \tag{1} \end{align}

mit \(R_\varphi = \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi \\-s_\varphi & c_\varphi\end{bmatrix}\) und \(R_\varphi^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\varphi\).

Mit den Abkürzungen:

\begin{align} \bar{T} &= \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right) & c &= c_{2\varphi} & c' &= c_{2\varphi\pm 180^\circ}\\ \tilde T &= \tfrac 12 \left( T_{xx} - T_{yy}\right) & s &= s_{2\varphi} & s' &= s_{2\varphi\pm 180^\circ}\\ \end{align}

lässt sich die Transformationsformel umformen:

\begin{align} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} + \tilde T c + T_{xy} s & - \tilde T s + T_{xy} c\\ \mathsf{sym} & \bar{T} - \tilde T c - T_{xy} s \end{bmatrix} \end{align}

Die Visualisierung als Zeigerdrehung auf den Punkt \(P\) gilt wegen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} \\ T_{\bar x \bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c & s \\ -s & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix}\end{split}\]

Und den Punkt \(P'\) diametral gegenüber entsteht wegen:

\begin{align} \begin{bmatrix} T_{\bar y \bar y} \\ - T_{\bar x\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -c & -s \\ s & - c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c' & s' \\ -s' & c' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \end{align}

Beispiel 1

\[\begin{split}\varphi &= 30^\circ \qquad \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ \mathsf{sym} & 0 \end{bmatrix} \\ \leadsto \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{30^\circ} & s_{30^\circ} \\ -s_{30^\circ} & c_{30^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ \mathsf{sym} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{30^\circ} & -s_{30^\circ} \\ s_{30^\circ} & c_{30^\circ} \end{bmatrix} \stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \left[\begin{matrix}1{,}9 & -4{,}1\\\mathsf{sym} & 4{,}1\end{matrix}\right] \\ \leadsto \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 + 3 c_{60^\circ} -3 s_{60^\circ} & - 3 s_{60^\circ} -3 c_{60^\circ}\\ \mathsf{sym} & 3 - 3 c_{60^\circ} +3 s_{60^\circ} \end{bmatrix} \stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \left[\begin{matrix}1{,}9 & -4{,}1\\\mathsf{sym} & 4{,}1\end{matrix}\right]\end{split}\]

Beispiel 2

\[\begin{split}\varphi &= 50^\circ \qquad \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -3 \\ \mathsf{sym} & 2 \end{bmatrix} \\ \leadsto \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{50^\circ} & s_{50^\circ} \\ -s_{50^\circ} & c_{50^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6 & -3 \\ \mathsf{sym} & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{50^\circ} & -s_{50^\circ} \\ s_{50^\circ} & c_{50^\circ} \end{bmatrix} \stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \left[\begin{matrix}-4{,}26 & 4{,}46\\\mathsf{sym} & 0{,}26\end{matrix}\right]\end{split}\]

Beispiel 3

\[\begin{split}-\varphi &= 30^\circ \quad \Leftrightarrow \quad \varphi = -30^\circ \qquad \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 6 \\ \mathsf{sym} & 2 \end{bmatrix} \\ \leadsto \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{-30^\circ} & s_{-30^\circ} \\ -s_{-30^\circ} & c_{-30^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 6 \\ \mathsf{sym} & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{-30^\circ} & -s_{-30^\circ} \\ s_{-30^\circ} & c_{-30^\circ} \end{bmatrix} \stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \left[\begin{matrix}-5{,}45 & 1{,}7\\\mathsf{sym} & 6{,}45\end{matrix}\right]\end{split}\]

Passive vs. Aktive Transformation

Gleiche Komponenten, aber andere Bedeutung

Für \(\alpha=-\varphi\) bzw. gleichbedeutend \(\varphi = - \alpha\) gilt:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T'_{xx} & T'_{xy} \\ \mathsf{sym} & T'_{yy} \end{bmatrix}\end{split}\]

• Eine passive Transformation mit \(\varphi=30^\circ\) führt auf dieselben transformierten Komponenten wie eine aktive Transformation (desselben Vektors) mit \(\alpha = -30^\circ\).

• Das Bezugssystem um 30 Grad entgegen dem Uhrzeigersinn zu drehen führt auf dieselben transformierten Komponenten wie den Tensor um 30 Grad im Uhrzeigersinn zu drehen.

• Die transformierten Komponenten sind hierbei zahlenmäßig gleich - haben aber verschiedene Bedeutungen.

Web-App

Anleitung

Für Passive Transformation:

• Oben die Komponenten \((T_{xx}, T_{xy}, T_{yy})\) eintragen als einheitenlose Größen. Falls z.B. ein Tensor untersucht werden soll mit den Komponenten \(\left(2\,\mathrm{Pa}, 1\,\mathrm{Pa}, \tfrac 3 2 \,\mathrm{Pa}\right)\): Dann würde man oben eintragen: \((T_{xx}, T_{xy}, T_{yy}) = (2, 1, 1.5).\)

• Unten am Schieberegler den Winkel \(\varphi\) einstellen.

• Im Diagramm die Komponenten \((T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x\bar y})\) ablesen.

• Es gilt für jedes beliebige \(n\in\mathbb{N}:\)

  \[T_{\bar y \bar y}(\varphi) = T_{\bar x \bar x}(\varphi + n \cdot 90^\circ)\]

  Darum lässt sich \(T_{\bar y \bar y}\) ablesen als \(T_{\bar x \bar x}\) für einen um 90 Grad größeren (oder kleineren) Winkel - also gegenüber auf dem Mohrschen Kreis. Beispiel:

  \[T_{\bar y \bar y}(10^\circ) = T_{\bar x \bar x}(-80^\circ)\]

• 180-Grad-Periodizität: Die Passive Transformation ist definiert für jeden beliebigen Winkel \(\varphi\). Denn es gilt für jedes beliebige \(n\in\mathbb{N}:\)

  \[\begin{split}T_{\bar x \bar x}(\varphi\pm n \cdot 180^\circ) &= T_{\bar x \bar x}(\varphi) \\ T_{\bar x \bar y}(\varphi\pm n \cdot 180^\circ) &= T_{\bar x \bar y}(\varphi) \\ T_{\bar y \bar y}(\varphi\pm n \cdot 180^\circ) &= T_{\bar y \bar y}(\varphi) \\\end{split}\]

  Beispiel:

  \[T_{\bar x \bar y}(100^\circ) = T_{\bar x \bar y}(-80^\circ)\]

SymPy

Nachfolgend ein Programm, dass Sie ausführen können:

• Auf dem PC z.B. mit Anaconda.

• Im Browser (online) in drei Schritten:

  1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

  2. Paste: Source Code als Python-Notebook einfügen z.B. auf:

     • JupyterLab oder

     • Colab.

  3. Play: Ausführen.

# -*- coding: utf-8 -*-
from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import S, pprint, Matrix, cos, sin, pi, sqrt, atan

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
Newton    =  kg*m/s**2
kN        =  10**3*Newton
Pa        =  Newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

Txx, Txy, Tyy = 2, 1, 1.5

p = -30 *deg
mode = "passive"
# mode = "active"
digits = 2

def prnt(p):
    tmp = p
    tmp /= deg
    tmp = iso_round(tmp,digits)
    print(tmp,end="")
    print("°")
    
def get_R(p, mode=mode):
    c, s = cos(p), sin(p)
    R = Matrix([[c, s],[-s, c]])
    if mode == "passive":
        pprint("\nPassive Transformation.")
        pprint("φ:")
        prnt(p)
        return R
    else:
        pprint("\nActive Transformation.")
        pprint("α:")
        prnt(p)
        return R.transpose()

pprint("\n(x,y)-Comp's of T:")
T = Matrix([
    [Txx, Txy],
    [Txy ,Tyy]
    ])
pprint(T)


R = get_R(p, mode = mode)

if mode == "passive":
    pprint("\n(x̄,ȳ)-Comp's of T:")
else:
    pprint("\n(x,y)-Comp's of T':")

tmp = R*T*R.transpose()
tmp = iso_round(tmp,digits)
pprint(tmp)


# # Or use Calculator:
# if mode == "active":
#     p*=-1
# # Define Shortcuts:
# c = cos(2*p)
# s = sin(2*p)
# Tb = (Txx + Tyy) / 2 
# Tt = (Txx - Tyy) / 2
# # Use Shortcuts:
# T11 = Tb + Tt*c + Txy*s  
# T12 = -Tt*s + Txy*c
# T22 = Tb - Tt*c - Txy*s  

# tmp = Matrix([[T11, T12], [T12, T22]])
# tmp = iso_round(tmp, digits)
# pprint(tmp)

if mode == "passive":

    pprint("\nTm:")
    Tm = (Txx + Tyy)/2
    tmp = Tm
    tmp = iso_round(tmp,digits)
    pprint(tmp)

    pprint("\nr:")
    r = ( (Txx - Tyy) / 2 )**2 + Txy**2
    tmp = sqrt(r)
    tmp = iso_round(tmp,digits)
    pprint(tmp)

    pprint("\nmax Tx̄x̄:")
    tmp = Tm + r
    tmp = iso_round(tmp,digits)
    pprint(tmp)

    pprint("\nmin Tx̄x̄:")
    minT = Tm - r
    tmp = minT
    tmp = iso_round(tmp,digits)
    pprint(tmp)

    pprint("\nφ₁ / deg:")
    p1 = atan(Txy/(Txx - minT))
    tmp = p1
    tmp /= deg
    tmp = iso_round(tmp,digits)
    pprint(tmp)

    pprint("\nmax Tx̄ȳ:")
    tmp = r
    tmp = iso_round(tmp,digits)
    pprint(tmp)

    pprint("\n(φ₁ - 45°) / deg:")
    tmp = p1 / deg - 45
    tmp = iso_round(tmp,digits)
    pprint(tmp)

                  
(x,y)-Comp's of T:
⎡2   1 ⎤
⎢      ⎥
⎣1  1.5⎦
                       
Passive Transformation.
φ:
-30.0°
                  
(x̄,ȳ)-Comp's of T:
⎡1.01  0.72⎤
⎢          ⎥
⎣0.72  2.49⎦
   
Tm:
1.75
  
r:
1.03
        
max Tx̄x̄:
2.81
        
min Tx̄x̄:
0.69
         
φ₁ / deg:
37.3
        
max Tx̄ȳ:
1.06
                 
(φ₁ - 45°) / deg:
-7.7

Statt SymPy lieber anderes CAS (Computeralgebrasystem) verwenden? Eine Auswahl verschiedener CAS gibt es hier.

Andere Ebenen und 3D

Entsprechende Formeln lassen sich auch für die anderen Ebenen aufstellen. Hierbei wird zyklisch vertauscht.

Ebene	\(\varphi\) zählt pos. um
\((x,y)\)	\(z\)
\((y,z)\)	\(x\)
\((z,x)\)	\(y\)

Beispiel \((y,z)\)-Ebene

Passive und aktive Transformation:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar y \bar y} & T_{\bar y\bar z} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar z\bar z} \end{bmatrix} \! &= R_\varphi \begin{bmatrix} T_{yy} & T_{yz} \\ \mathsf{sym} & T_{zz} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T} \\ \begin{bmatrix} T'_{yy} & T'_{yz} \\ \mathsf{sym} & T'_{zz} \end{bmatrix} &= R_\alpha \begin{bmatrix} T_{yy} & T_{yz} \\ \mathsf{sym} & T_{zz} \end{bmatrix} R_\alpha^{\mathsf T}\end{split}\]

• Für 3D siehe 3D Elementar-Drehungen.

• Weitere Eigenschaften der Passiven Transformation siehe hier.

Tensor-Komponente

• Eine Tensor-Komponente ist der Anteil eines symmetrischen Tensors in einer bestimmten „Richtung“.

• Diese „Richtung“ wird definiert mit zwei Einheitsvektoren (entlang dieser „Richtung“).

Um eine Tensor-Komponenten zu berechnen, braucht man:

1. ein Bezugssystem, z.B. das \((x,y,z)\)-System.

2. die Komponenten des Tensors (bezüglich Bezugssystem): \(T_{xx}, T_{xy}, T_{xz}, T_{yy}, T_{yz}, T_{zz}\).

3. die Komponenten der Einheitsvektoren (bezüglich Bezugssystem).

\(xx\)-Komponente

Sei die „Richtung“ die \(xx\)-„Richtung“. Dann gilt für die Tensor-Komponente \(T_{xx}\) in dieser „Richtung“:

\[\begin{split}T_{xx} &= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz}\\ & T_{yy} & T_{yz} \\ \mathsf{sym} & & T_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} \\ T_{xy} \\ T_{xz} \end{bmatrix} \\ &= T_{xx}\end{split}\]

2D

In 2D z.B. in der \((x,y)\)-Ebene:

\[\begin{split}T_{xx} &= \begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym}& T_{yy}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} \\ T_{xy} \end{bmatrix} \\ &= T_{xx}\end{split}\]

\(xy\)-Komponente

Sei die „Richtung“ die \(xy\)-„Richtung“. Dann gilt für die Tensor-Komponente \(T_{xy}\) in dieser „Richtung“:

\[\begin{split}T_{xy} &= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz}\\ & T_{yy} & T_{yz} \\ \mathsf{sym} & & T_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xy} \\ T_{yy} \\ T_{yz} \end{bmatrix} \\ &= T_{xy}\end{split}\]

2D

In 2D z.B. in der \((x,y)\)-Ebene:

\[\begin{split}T_{xy} &= \begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xy} \\ T_{yy} \\ \end{bmatrix} \\ &= T_{xy}\end{split}\]

\(\bar x\bar x\)-Komponente

Sei die „Richtung“ die \(\bar x\bar x\)-„Richtung“. Weil \(\bar x\) um den Winkel \(\varphi\) relativ zu \(x\) gedreht ist, hat ein Einheitsvektor in \(\bar x\)-Richtung die \((x,y,z)\)-Komponenten \((c_\varphi, s_\varphi, 0)\). Und für die Tensor-Komponente \(T_{\bar x \bar x}\) in dieser „Richtung“ gilt:

\[\begin{split}T_{\bar x\bar x} &= \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz}\\ & T_{yy} & T_{yz} \\ \mathsf{sym} & & T_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_\varphi \\ s_\varphi \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

2D

In 2D z.B. in der \((x,y)\)-Ebene:

\[\begin{split}T_{\bar x\bar x} &= \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_\varphi \\ s_\varphi\end{bmatrix}\end{split}\]

\(\bar x\bar y\)-Komponente

Sei die „Richtung“ die \(\bar x\bar y\)-„Richtung“. Weil \(\bar x\) um den Winkel \(\varphi\) relativ zu \(x\) gedreht ist, hat ein Einheitsvektor in \(\bar x\)-Richtung die \((x,y,z)\)-Komponenten \((c_\varphi, s_\varphi, 0)\). Und weil \(\bar y\) um den Winkel \(\varphi\) relativ zu \(y\) gedreht ist, hat ein Einheitsvektor in \(\bar y\)-Richtung die \((x,y,z)\)-Komponenten \((-s_\varphi, c_\varphi, 0)\). Und für die Tensor-Komponente \(T_{\bar x \bar y}\) in dieser „Richtung“ gilt:

\[\begin{split}T_{\bar x\bar y} &= \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz}\\ & T_{yy} & T_{yz} \\ \mathsf{sym} & & T_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-s_\varphi \\ c_\varphi \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

2D

In 2D z.B. in der \((x,y)\)-Ebene:

\[\begin{split}T_{\bar x\bar y} &= \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-s_\varphi \\ c_\varphi\end{bmatrix}\end{split}\]

Dieselben Formeln werden in der Passiven Transformation verwendet.