2.2.C

../../../_images/2.2.C.png

Gegebene Größen: Die \((x,y)\)-Komponenten des Spannungstensors bei einem 2D-Spannungszustand:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \mathsf{sym} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ \mathsf{sym} & 5 \end{bmatrix} \, \mathrm{Pa}\end{split}\]

Verwenden Sie die dimensionslosen Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{\sigma_{xx}}{\mathrm{Pa}} & \frac{\tau_{xy}}{\mathrm{Pa}} \\ \mathsf{sym} & \frac{\sigma_{yy}}{\mathrm{Pa}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ \mathsf{sym} & 5 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{\sigma_{\bar x\bar x}}{\mathrm{Pa}} & \frac{\tau_{\bar x\bar y}}{\mathrm{Pa}} \\ \mathsf{sym} & \frac{\sigma_{\bar y\bar y}}{\mathrm{Pa}} \end{bmatrix}\end{split}\]

und die Passive Transformation von Tensor-Komponenten.

Untersuchen Sie die Struktur. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Transformierte Komponenten

Berechnen Sie die dimensionslosen transformierten Komponenten gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

  • für \(\varphi = 15^\circ\):

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}4 & 4{,}96 \\ \mathsf{sym} & 2{,}6 \end{bmatrix}\end{split}\]
  • für \(\varphi = 30^\circ\):

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} \stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 3{,}96 & 4{,}6 \\ \mathsf{sym} & 0{,}04 \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen der dimensionslosen Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ \mathsf{sym} & 5 \end{bmatrix}\end{split}\]

in die Transformationsformel aus Passive Transformation sowie Runden liefert:

  • für \(\varphi = 15^\circ\):

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}c_{15^\circ} & s_{15^\circ} \\-s_{15^\circ} & c_{15^\circ}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ \mathsf{sym} & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_{15^\circ} & -s_{15^\circ} \\s_{15^\circ} & c_{15^\circ}\end{bmatrix} \\ &\stackrel{0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}4 & 4{,}96 \\ \mathsf{sym} & 2{,}6 \end{bmatrix}\end{split}\]

b) Mohrscher Kreis

Zeichnen Sie den Mohrschen Kreis. Und markieren Sie die sieben Punkte:

  • \(P_{0^\circ}\)

  • \(P_{90^\circ}\)

  • \(P_{M}\)

  • \(P_{\varphi_1}\)

  • \(P_{\varphi_1+90^\circ}\)

  • \(P_{\varphi_1-45^\circ}\)

  • \(P_{\varphi_1+45^\circ}\)

Lösung

../../../_images/circle.png

Details siehe Mohrscher Kreis.

c) Transformierte Komponenten

Füllen Sie folgende Tabelle mit Werten gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\(\varphi\)

\(T_{\bar x \bar x}\)

\(T_{\bar x \bar y}\)

\(\sigma_{\bar x \bar x}\)

\(\tau_{\bar x \bar y}\)

\(0^\circ\)

\(30^\circ\)

\(60^\circ\)

\(90^\circ\)

\(180^\circ\)

Lösung

Verwendung Passive Transformation liefert:

\(\varphi\)

\(T_{\bar x \bar x}\)

\(T_{\bar x \bar y}\)

\(\sigma_{\bar x \bar x}\)

\(\tau_{\bar x \bar y}\)

\(0 ^\circ\)

\(-1\)

\(4\)

\(-1 \,\mathrm{Pa}\)

\(4 \,\mathrm{Pa}\)

\(30 ^\circ\)

\(3{,}96\)

\(4{,}60\)

\(3{,}96 \,\mathrm{Pa}\)

\(4{,}60 \,\mathrm{Pa}\)

\(60 ^\circ\)

\(6{,}96\)

\(0{,}60\)

\(6{,}96 \,\mathrm{Pa}\)

\(0{,}60 \,\mathrm{Pa}\)

\(90 ^\circ\)

\(5\)

\(-4\)

\(5 \,\mathrm{Pa}\)

\(-4 \,\mathrm{Pa}\)

\(180 ^\circ\)

\(-1\)

\(4\)

\(-1 \,\mathrm{Pa}\)

\(4 \,\mathrm{Pa}\)

Tensor Transformation

d) Maximale und minimale Normalspannung

Bestimmen Sie die maximale und die minimale Normalspannung:

\[\begin{split}\max T_{\bar x \bar x} &= \ldots \\ \min T_{\bar x \bar x} &= \ldots\end{split}\]

Prüfen Sie Ihr Ergebnis am Mohrschen Kreis.

Lösung

\[\begin{split}\bar T &= \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right) \\ &= 2 \\ r &= \sqrt{\left\{ \tfrac12 \left(T_{xx}-T_{yy}\right)\right\}^2 + T_{xy}^2} \\ &= 5\end{split}\]

Damit:

\[\begin{split}\max T_{\bar x \bar x} &= \bar T + r \\ &= 7 \\ \min T_{\bar x \bar x} &= \bar T - r \\ &= -3\end{split}\]

e) Winkel, für den Normalspannung maximal ist

Berechnen Sie den zu \(\max T_{\bar x \bar x}\) gehörigen Winkel \(\varphi_1\). Berechnen Sie also den Winkel, für den die Normalspannung maximal ist. Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\varphi_1 \stackrel{0{,}01}{\approx} 63{,}43^\circ\]

Lösung

Nach Mohrscher Kreis gilt:

\[\varphi_1= \arctan{\tfrac{T_{xy}}{T_{xx} - \min T_{\bar x \bar x}}}\]

Die minimale Normalspannung ist:

\[\begin{split}\min T_{\bar x \bar x} &=\bar T - r \\ &= 2 - 5 \\ &= -3\end{split}\]

so dass:

\[\begin{split}\varphi_1 &= \arctan{}\tfrac{4}{-1 - (-3)} \\ &= \arctan{}2 \\ &\stackrel{0{,}01}{\approx} 63{,}43^\circ\end{split}\]

f) Maximale Schubspannung und zugehöriger Winkel

Berechnen Sie das Maximum \(\max \, T_{\bar x \bar y}\) und den zugehörigen Winkel \(\varphi_1-45^\circ\), für den die Schubspannung maximal ist. Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\varphi_1 - 45^\circ \stackrel{0{,}01}{\approx} 18{,}43^\circ\]

Lösung

Es gilt:

\[\begin{split}\max T_{\bar x \bar y} &= r \\ &= 5\end{split}\]

Am Mohrschen Kreis erkennt man, dass der Winkel, für den die Schubspannung maximal ist, um 45 Grad kleiner ist, als der Winkel, für den die Normalspannung maximal ist.

\[\varphi_1 - 45^\circ \stackrel{0{,}01}{\approx} 18{,}43^\circ\]

Zusammenfassung der Ergebnisse

\(\varphi\)

\(T_{\bar x \bar x}\)

\(T_{\bar x \bar y}\)

\(0 ^\circ\)

\(-1\)

\(4\)

\(30 ^\circ\)

\(3{,}96\)

\(4{,}60\)

\(60 ^\circ\)

\(6{,}96\)

\(0{,}60\)

\(90 ^\circ\)

\(5\)

\(-4\)

\(180 ^\circ\)

\(-1\)

\(4\)

\(\varphi_1\stackrel{0{,}01}{\approx} 63{,}43^\circ\)

\(7\)

\(0\)

\(\varphi_1-45^\circ \stackrel{0{,}01}{\approx} 18{,}43^\circ\)

\(2\)

\(5\)

../../../_images/mohr.png

Programm

SymPy

Nachfolgend ein Programm, dass Sie ausführen können:

  • Auf dem PC z.B. mit Anaconda.

  • Im Browser (online) in drei Schritten:

    1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

    2. Paste: Source Code als Python-Notebook einfügen z.B. auf:

    3. Play: Ausführen.

# -*- coding: utf-8 -*-
from sympy import *

deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
import decimal
from decimal import Decimal as DX
from copy import deepcopy
def iso_round(obj, pv,
    rounding=decimal.ROUND_HALF_EVEN):
    import sympy
    """
    Rounding acc. to DIN EN ISO 80000-1:2013-08
    place value = Rundestellenwert
    """
    assert pv in set([
        # place value   #  round to:
        "1",              #  round to integer
        "0.1",            #  1st digit after decimal
        "0.01",           #  2nd
        "0.001",          #  3rd
        "0.0001",         #  4th
        "0.00001",        #  5th
        "0.000001",       #  6th
        "0.0000001",      #  7th
        "0.00000001",     #  8th
        "0.000000001",    #  9th
        "0.0000000001",   # 10th
        ])
    objc = deepcopy(obj)
    try:
        tmp = DX(str(float(objc)))
        objc = tmp.quantize(DX(pv), rounding=rounding)
    except:
        for i in range(len(objc)):
            tmp = DX(str(float(objc[i])))
            objc[i] = tmp.quantize(DX(pv), rounding=rounding)
    return objc

# User Input starting here.

# Output precision:
prec = "0.01"

Txx, Txy, Tyy = -1, 4, 5

angle = 30 * deg

passive = False

# User Input ending here.

def print_angle(angle):
    tmp = angle
    tmp /= deg
    tmp = iso_round(tmp,prec)
    print(tmp,end="")
    print("°")
    
def get_R(angle, passive=True):
    c, s = cos(angle), sin(angle)
    R = Matrix([[c, s],[-s, c]])
    if passive == True:
        pprint("\nPassive Transformation: φ:")
        print_angle(angle)
        return R
    else:
        pprint("\nActive Transformation: α:")
        print_angle(angle)
        return R.transpose()

pprint("\n(x,y)-Comp's of T:")
T = Matrix([
    [Txx, Txy],
    [Txy ,Tyy]
    ])
pprint(T)

# Calculator:
# C2, S2 = cos(phi)**2, sin(phi)**2
# c2, s2 = cos(2*phi), sin(2*phi)
# T11 = Txx*C2 + Txy*s2 + Tyy*S2
# T12 = (Tyy - Txx)/2*s2 + Txy*c2
# T22 = Txx*S2 - Txy*s2 + Tyy*C2

R = get_R(angle, passive=passive)

if (passive == True):
    pprint("\n(x̄,ȳ)-Comp's of T:")
else:
    pprint("\n(x,y)-Comp's of T':")

tmp = R*T*R.transpose()
tmp = iso_round(tmp,prec)
pprint(tmp)

pprint("\n")
                  
(x,y)-Comp's of T:
⎡-1  4⎤
⎢     ⎥
⎣4   5⎦
                         
Active Transformation: α:
30.00°
                   
(x,y)-Comp's of T':
⎡-2.96  -0.6⎤
⎢           ⎥
⎣-0.6   6.96⎦

Statt SymPy lieber anderes CAS (Computeralgebrasystem) verwenden? Eine Auswahl verschiedener CAS gibt es hier.