1.7.D

Gegebene Symbole: \(a, q\) und davon abhängig \(M_B=q a^2.\)

a) Lagerreaktionen

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie die Lagerreaktionen bei A und C.

Lösung

Lösung nach Einsetzen von \(M_B=q a^2\) und \(R=qa\):

\[\begin{split}A_h &= 0 \\ A_v &= \tfrac{3 a q}{4} \\ C_v &= \tfrac{a q}{4}\end{split}\]

SymPy

Nachfolgend ein Programm, dass Sie ausführen können:

• Auf dem PC z.B. mit Anaconda.

• Im Browser (online) in drei Schritten:

  1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

  2. Paste: Source Code als Python-Notebook einfügen z.B. auf:

     • JupyterLite oder

     • JupyterLab oder

     • Colab.

  3. Play: Ausführen.

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

a, q = var("a, q")

# Given:
M = q*a*a
R = q*a

Ah, Av, Cv = var('A_h, A_v, C_v')

# Equil. Conditions:
eq1 = Eq( 0, Ah )
eq2 = Eq( 0, Av + Cv - R )
eq3 = Eq( 0, a/2 * R + 2*a*Cv - M)

# Solve:
eqns = [eq1, eq2, eq3]
sol = solve(eqns, [Ah, Av, Cv])

# Output:
for s in sol:
    pprint("\n")
    pprint(s)
    tmp = sol[s]
    pprint(tmp)

Aₕ
0

Aᵥ
3⋅a⋅q
─────
  4  

Cᵥ
a⋅q
───
 4 

Statt SymPy lieber anderes CAS (Computeralgebrasystem) verwenden? Eine Auswahl verschiedener CAS gibt es hier.

b) Querkraft und Biegemoment

Für die gegebenen Symbole: Definieren Sie drei Definitionsbereiche:

\[\begin{split}\ldots < &\, x_1 < \ldots \\ \ldots < &\, x_2 < \ldots \\ \ldots < &\, x_3 < \ldots\end{split}\]

Und berechnen Sie die Schnittgrößen Querkraft und Biegemoment in den drei Bereichen:

\[\begin{split}Q_1(x_1) = \ldots \qquad M_1(x_1) = \ldots \\ Q_2(x_2) = \ldots \qquad M_2(x_2) = \ldots \\ Q_3(x_3) = \ldots \qquad M_3(x_3) = \ldots\end{split}\]

Lösung

Lösung nach Einsetzen der Lagerreaktionen:

\[\begin{split}\tfrac{Q_1}{qa} &= - \xi_1 \\ \tfrac{M_1}{qa^2} &= - \tfrac{1}{2}\xi_1^{2}\\ \\ \tfrac{Q_2}{qa} &= - \tfrac{1}{4} \\ \tfrac{M_2}{qa^2} &= - \tfrac{1}{4}\xi_2 - \tfrac{1}{2} \\ \\ \tfrac{Q_3}{qa} &= - \tfrac{1}{4}\\ \tfrac{M_3}{qa^2} &= - \tfrac{1}{4}\xi_3 + \tfrac{1}{4}\end{split}\]

mit den Abkürzungen \(\xi_1 = \tfrac{x_1}{a}, \xi_2 = \tfrac{x_2}{a}, \xi_3 = \tfrac{x_3}{a}\) und deren Definitionsbereichen:

\[\begin{split}0 < &\, \xi_1 < 1 \\ 0 < &\, \xi_2 < 1 \\ 0 < &\, \xi_3 < 1\end{split}\]

c) Funktionsgraphen

Zeichnen Sie die Schnittgrößen Querkraft und Biegemoment in den drei Bereichen:

• \(\tfrac{Q_1}{qa}\) und \(\tfrac{M_1}{qa^2}\) über \(\xi_1\)

• \(\tfrac{Q_2}{qa}\) und \(\tfrac{M_2}{qa^2}\) über \(\xi_2\)

• \(\tfrac{Q_3}{qa}\) und \(\tfrac{M_3}{qa^2}\) über \(\xi_3\)

mit den Abkürzungen \(\xi_1 = \tfrac{x_1}{a}, \xi_2 = \tfrac{x_2}{a}, \xi_3 = \tfrac{x_3}{a}\).

Lösung

d) Lagerkraft und Schnittgrößen bei C

Berechnen Sie:

• die Kraft, die vom Lager bei C auf den Balken wirkt und

• die Querkraft und das Biegemoment sehr nah bei C

für die Größen:

\[a = 1 \,\mathrm{m} \qquad q = 4 \, \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\]

Lösung

\[\begin{split}C_v &= \tfrac{a q}{4} \\ &= 1 \,\mathrm{m} \cdot \tfrac{4 \,\mathrm{N}}{4 \,\mathrm{m}} \\ &= 1 \,\mathrm{N} \\ Q_3 (x_3 = a) &= - C_v \\ &= - 1 \,\mathrm{N} \\ M_3(x_3 = a) &= 0\end{split}\]

e) Differentialgleichungen

Berechnen Sie die Schnittgrößen in den ersten beiden Bereichen mit den Biege-Differentialgleichungen:

\[\begin{split}Q' &= - q \\ M' &= Q\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}Q_1(x_1) &= Q_1(0) - \int_{x=0}^{x_1} q \, {\mathsf d}x \\ &= 0 - q x_1 \\ &= - q x_1\end{split}\]

\[\begin{split}M_1(x_1) &= M_1(0) + \int_{x=0}^{x_1} Q_1(x) \, {\mathsf d}x \\ &= 0 - q \int_{x=0}^{x_1} x \, {\mathsf d}x \\ &= 0 - \tfrac12 q x_1^2 \\ &= - \tfrac12 q x_1^2\end{split}\]