3.4.C

Gegeben

Symbole:

\[g, M, m, R, 0^\circ< \alpha <90^\circ \qquad \Theta =\tfrac12 M R^2\]

Die Scheibe mit Masse \(M\) rollt nach unten und wickelt dabei ein Seil auf.
Das über die masselose Umlenkrolle gelegte Seil zieht eine Punktmasse mit Masse \(m\) nach oben.
\(\Theta\) ist das Trägheitsmoment der Scheibe bezogen auf ihren Schwerpunkt.

Vollständige Lösung mit 9 Gleichungen und 9 Unbekannten auf einer Seite

a) Beschleunigung für Symbole

Berechnen Sie die Beschleunigung \(\ddot y\) des Schwerpunkts der Scheibe für die gegebenen Symbole.

Lösung

Die oben genannten Aussagen bilden ein Gleichungssystem bestehend aus 7 Gleichungen. Lösung für \(\ddot y\):

\[\ddot y = \tfrac{2 g \left(M \sin {\alpha} - 2 m\right)}{3 M + 8 m}\]

b) Beschleunigung für Größen

Verwenden Sie erst ab hier folgende Größen:

\[\begin{split}g &= 10\, \tfrac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2} \\ M &=4 \,\mathrm{kg} \\ m &= 0{,}5 \,\mathrm{kg} \\ R &= 0{,}1 \, \mathrm{m} \\ \alpha &= 30^\circ\end{split}\]

Zeigen Sie, dass hierfür gilt:

\[\ddot y = 1{,}25 \, \tfrac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\]

Lösung

\[\begin{split}\ddot y &= 20 \, \tfrac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2} \tfrac{\left(4 \cdot \tfrac12 - 1\right)}{12 + 4} \\ &= \tfrac 5 4 \, \tfrac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\end{split}\]

c) Verstrichene Zeit

Sei die Anfangsgeschwindigkeit der Scheibe gleich Null, also \(\dot y(t=0\,\mathrm{s})=0\). Berechnen Sie die Zeit \(\Delta t\), die verstreicht, bis für die Scheiben-Geschwindigkeit gilt: \(\dot y = 1{,}25\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.\)

Lösung

Die verstrichene Zeit ist \(\Delta t=1\,\mathrm{s}\), denn:

\[\begin{split}\dot y &= \ddot y \Delta t \\ \tfrac 5 4 \, \tfrac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}} &= \tfrac 5 4 \, \tfrac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2} \,\Delta t \\ 1 &= \tfrac{\Delta t}{\mathrm{s}} \\ \Delta t &= 1 \, \mathrm{s}\end{split}\]

SymPy

Python Source Code eines Programms dazu:

from sympy import pprint, symbols, Eq, solve, cos, sin, pi, S, simplify
from sympy.physics.units import kg, m, s

deg = pi/180
half = S(1)/2

grav, Mass, mass, R, alpha = symbols("g M m R alpha")
ca = cos(alpha)
sa = sin(alpha)

sub_list=[
    ( Mass,          4     *kg ),
    ( mass,       half     *kg ),
    ( R,       S(1)/10      *m ),
    ( alpha,        30    *deg ),
    ( grav,         10 *m/s**2 ),
    ]

T = Mass*R*R/2
ap, ax, ay, H, N, S1, S2, Ah, Av = symbols('ap ax ay H N S1 S2 Ah Av')

eq1 = Eq( Mass*ay,  Mass*grav*sa - S2 - H )
eq2 = Eq( 0,  Mass*grav*ca - N )
eq3 = Eq( T*ap, R*H - R*S2 )
eq4 = Eq( 0, S2*ca - Ah)
eq5 = Eq( 0, Av - S1 - S2*sa)
eq6 = Eq( 0, S1 - S2 )
eq7 = Eq( mass*ax, -mass*grav + S1 )
eq8 = Eq( ax, 2*R*ap )
eq9 = Eq( ay, 1*R*ap )


eqns = [eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7, eq8, eq9]
unks = [ax, ay, ap, H, N, S1, S2, Ah, Av]
sol = solve(eqns, unks)

pprint("\ny'':")
tmp = sol[ay]
tmp = simplify(tmp)
pprint(tmp)

pprint("\ny''/ (m/s²):")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= m / s**2
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.