2.4.2.I
Video
1: Freischneiden und \(M\) berechnen. 2: Integrieren zur allgemeinen Lösung. 3: Randbedingungen in \(w\) und \(w'\). 4: Integrationskonstanten berechnen. 5: Spezielle Lösung \(w\).Lösung auf einer Seite
FEM-Lösung
siehe B2.D

Gegebene Symbole: \(a, q, F, E, I.\)
Gegeben ist ein rechts bei B eingespannter Balken, auf den äußere Lasten wirken.
Gegebene Größen:
1. Biegesteifigkeit
Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die Biegesteifigkeit \(B\) in \(\mathrm{kNm}^2\):
Lösung
2. Biegemoment
Berechnen Sie das Biegemoment \(M\):
für die gegebenen Symbole als Funktion \(M(x)\) und
für die gegebenen Größen, und zwar bei \(x = 3\,\mathrm{m}.\)
3. Integration und allgemeine Lösung
Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass:
mit zwei Konstanten \(C_1, C_2\).
Ausgehend von: Einsetzen von \(M(x)=- \tfrac{1}{2} x \left(2 F + q x\right)\) und Integration liefert: mit \(C_1\) und \(C_2\) als Integrationskonstanten. Die letzte Gleichung heißt allgemeine Lösung.Lösung
4. Randbedingungen und spezielle Lösung
Geben Sie Randbedingungen an. Zeigen Sie, dass die Auswertung der Randbedingungen auf folgende Integrationskonstanten führt:
Zeigen Sie, dass:
Randbedingungen am rechten Rand bei \(x=a\): Auswerten der Funktionen (i2) an der Stelle \(x=a\) und Verwendung von (b1) liefert: Auswerten der Funktionen (i1) an der Stelle \(x=a\) und Verwendung von (b2) liefert: Und aus diesen beiden Gleichungen lassen sich \(C_1\) und \(C_2\) berechnen. Lösung: Einsetzen dieser \(C_1, C_2\) in die allgemeine Lösung liefert die spezielle Lösung:Lösung
5. Funktionsgraph der w-Funktion
Für die gegebenen Größen: Zeichnen Sie \(w\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter) - und zwar für verschiedene \(-10\,\mathrm{kN} < F <10\,\mathrm{kN}\) und verschiedene \(-3 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} < q < 3 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}.\)
Lösung
6. Ergebnisse für Größen
Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die Querverschiebung \(w\) und deren Ableitung \(w'\) bei \(x=0\,\mathrm{m}\). Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\) bzw. \(0{,}0001\). Zeigen Sie, dass:
Berechnen Sie außerdem den Neigungswinkel \(\psi\) bei \(x=0\) in \(^\circ\) (Grad) und gerundet auf \(0{,}0001\). Zeigen Sie, dass:
Auswertung von (1) bei \(x=0\) liefert: Ableitung von \(w(x)\) liefert: Auswertung bei \(x=0\) und Einsetzen der gegebenen Größen liefert: Neigungswinkel bei \(x=0\):Lösung
7. Ergebnis-Kontrolle
Überprüfen Sie Ihrer Ergebnisse. Zeigen Sie dazu, dass:
Auswerten der speziellen Lösung \(w\) bzw. (1) und der Ableitung \(w'\) bei \(x=a\) liefert:Lösung
8. Spezialfall
Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie \(F\) abhängig von \(qa\), so dass die Querverschiebung \(w(0)\) am linken Rand Null ist.
Auswertung von (1) bei \(x=0\) führt auf:Lösung
Nachfolgend ein Programm, dass Sie ausführen können: Auf dem PC z.B. mit Anaconda. Im Browser (online) in drei Schritten: Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren. Paste: Source Code als Python-Notebook einfügen z.B. auf: JupyterLite oder JupyterLab oder Play: Ausführen. Statt SymPy lieber anderes CAS (Computeralgebrasystem) verwenden? Eine Auswahl verschiedener CAS gibt es hier.SymPy
from sympy.physics.units import *
from sympy import *
# Units:
(mm, cm) = ( m/1000, m/100 )
kN = 10**3*newton
Pa = newton/m**2
MPa = 10**6*Pa
GPa = 10**9*Pa
deg = pi/180
half = S(1)/2
# Rounding:
import decimal
from decimal import Decimal as DX
from copy import deepcopy
def iso_round(obj, pv,
rounding=decimal.ROUND_HALF_EVEN):
import sympy
"""
Rounding acc. to DIN EN ISO 80000-1:2013-08
place value = Rundestellenwert
"""
assert pv in set([
# place value # round to:
"1", # round to integer
"0.1", # 1st digit after decimal
"0.01", # 2nd
"0.001", # 3rd
"0.0001", # 4th
"0.00001", # 5th
"0.000001", # 6th
"0.0000001", # 7th
"0.00000001", # 8th
"0.000000001", # 9th
"0.0000000001", # 10th
])
objc = deepcopy(obj)
try:
tmp = DX(str(float(objc)))
objc = tmp.quantize(DX(pv), rounding=rounding)
except:
for i in range(len(objc)):
tmp = DX(str(float(objc[i])))
objc[i] = tmp.quantize(DX(pv), rounding=rounding)
return objc
a, q, F, E, I = var('a, q, F, E, I')
sub_list = [
(a, 3 *m),
(q, 3 *kN/m),
(F, 10 *kN),
(E, 200 *GPa),
(I, 65*10**6 *mm**4)
]
pprint("EI / kNm²:")
B = E*I
tmp = B
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= kN*m**2
pprint(tmp)
pprint("\nM:")
x = var("x")
M = - F * x - q*x*x/2
M = M.simplify()
tmp = M
pprint(tmp)
pprint("\nM(x = 3 m)/ kNm:")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp = tmp.subs(x, 3*m)
tmp /= kN*m
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)
pprint("Integrating...")
C1, C2 = var('C1, C2')
xi = var("xi")
# w'' = - M / EI
wpp = - M/B
wp = integrate(wpp,x) + C1
w = integrate(wp,x) + C2
pprint("\nGeneral Solution:")
pprint("\nw:")
w = w.simplify()
tmp = w
pprint(w)
pprint("\nParticular solution:")
# Boundary Conditions:
# 1: w(a) = 0
# 2: w'(a) = 0
bc1 = Eq(w.subs(x,a), 0)
bc2 = Eq(wp.subs(x,a), 0)
unknowns = [C1, C2]
eqns = [bc1, bc2]
sol = solve(eqns, unknowns)
sC1 = sol[C1]
sC2 = sol[C2]
pprint(sC1)
pprint(sC2)
pprint("\nw:")
w = w.subs({C1: sC1, C2: sC2})
w = w.simplify()
pprint(w)
pprint("\nw(x=0) / mm:")
w0 = w.subs(x, 0)
w0 = w0.subs(sub_list)
tmp = w0
tmp /= mm
tmp = iso_round(tmp,"0.01")
pprint(tmp)
pprint("\nw':")
wp = diff(w,x)
pprint(wp)
wp0 = wp.subs(x, 0)
wp0 = wp0.subs(sub_list)
psi = - wp0
pprint("\nψ(0):")
tmp = psi
pprint(tmp)
tmp = iso_round(tmp, "0.0001")
pprint(tmp)
pprint("\nψ(0) / °:")
tmp /= deg
tmp = iso_round(tmp, "0.0001")
pprint(tmp)
pprint("\nw(x = 3 m):")
tmp = w.subs(sub_list)
tmp = tmp.subs(x,3*m)
pprint(tmp)
pprint("\nw'(x = 3 m):")
tmp = wp.subs(sub_list)
tmp = tmp.subs(x,3*m)
pprint(tmp)
pprint("\n27 / 80:")
tmp = S(27)/80
tmp = iso_round(tmp, "0.01")
pprint(tmp)
EI / kNm²:
13000
M:
-x⋅(2⋅F + q⋅x)
───────────────
2
M(x = 3 m)/ kNm:
-87/2
Integrating...
General Solution:
w:
3 4
F⋅x q⋅x
E⋅I⋅(C₁⋅x + C₂) + ──── + ────
6 24
─────────────────────────────
E⋅I
Particular solution:
2 3
- 3⋅F⋅a - a ⋅q
───────────────
6⋅E⋅I
3 4
8⋅F⋅a + 3⋅a ⋅q
───────────────
24⋅E⋅I
w:
3 3 4 2 4
8⋅F⋅a + 4⋅F⋅x + 3⋅a ⋅q - 4⋅a ⋅x⋅(3⋅F + a⋅q) + q⋅x
────────────────────────────────────────────────────
24⋅E⋅I
w(x=0) / mm:
9.26
w':
2 2 3
12⋅F⋅x - 4⋅a ⋅(3⋅F + a⋅q) + 4⋅q⋅x
───────────────────────────────────
24⋅E⋅I
ψ(0):
9/2000
0.0045
ψ(0) / °:
0.2578
w(x = 3 m):
0
w'(x = 3 m):
0
27 / 80:
0.34