3.4.E

Eine Kugel mit Radius \(r\) und Masse \(m\) rollt im Schwerefeld auf einer Kreisbahn hinab. Ihre Bewegung beginnt bei \(\varphi=0\) mit der Geschwindigkeit des Schwerpunkts \(v_0\).

Gegebene Symbole: \(m, R, r, v_0, g\) sowie davon abhängig das Massenträgheitsmoment der Kugel bezüglich Schwerpunkt \(S\), nämlich \(\Theta =\tfrac25 m r^2\)

Untersuchen Sie die Bewegung. Gehen Sie wie folgt vor.

1. Winkelgeschwindigkeit

Berechnen Sie für die gegebenen Symbole:

• die Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\) zu Beginn für Schwerpunktgeschwindigkeit \(v_0\) und

• die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) zu beliebigem Zeitpunkt für Geschwindigkeit \(v\).

\[\omega_0 = \dots \quad,\quad \omega = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}\omega_0 &= \tfrac{v_0}{r} \\ \omega &= \tfrac{v}{r}\end{split}\]

2. Energien

Berechnen Sie folgende Energien für die gegebenen Symbole:

• \(E_0 = E_{\mathsf{kin},0} + E_{\mathsf{pot},0}\): Energie der Kugel bei \(\varphi=0\) und Geschwindigkeit \(v_0\).

• \(E=E_{\mathsf{kin}} + E_{\mathsf{pot}}\): Energie bei beliebigem Winkel \(\varphi\) und Geschwindigkeit \(v\).

Lösung

\[\begin{split}E_{\mathsf{kin},0} &= \tfrac{1}{2} m {v_0}^2 + \tfrac{1}{2} \Theta {\omega_0}^2 \\ E_{\mathsf{pot},0} &= mg(R+r) \\ E_{\mathsf{kin}} &= \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2} \Theta \omega^2 \\ E_{\mathsf{pot}} &= mg(R+r)\cos{\varphi}\end{split}\]

3. Energiesatz

Berechnen Sie mit dem Energiesatz die Geschwindigkeit \(v\) bzw. \(v^2\) abhängig von \(\varphi\) und abhängig von den gegebenen Symbolen.

\[v^2(\varphi) = \dots\]

Lösung

Energiesatz:

\[\begin{split}E_0 &= E \\ E_{\mathsf{kin},0} + E_{\mathsf{pot},0} &= E_{\mathsf{kin}} + E_{\mathsf{pot}} \\ \tfrac{1}{2} m {v_0}^2 + \tfrac{1}{2} \Theta {\omega_0}^2 + mg(R+r) &= \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2} \Theta \omega^2 + mg(R+r)\cos{\varphi}\end{split}\]

Einsetzen von \(\omega_0\), \(\omega\) und dem gegebenen \(\Theta\) liefert:

\[v^2 = {v_0}^2 + \tfrac{10}{7}g(R+r)(1- \cos{\varphi})\]

4. Schwerpunkt-Beschleunigung

Der Ortsvektor zum Schwerpunkt ist:

\[\boldsymbol{r_S} = (R+r) \boldsymbol e_R\]

Zeigen Sie, dass die Beschleunigung des Schwerpunkts ist:

\[\boldsymbol a = - (R+r) \dot{\varphi}^2 \boldsymbol e_R + (R+r) \ddot \varphi \boldsymbol e_\varphi\]

Lösung

Beschleunigung des Schwerpunkts, der sich auf einer Kreisbahn mit Radius \(R+r\) bewegt:

\[\begin{split}\boldsymbol{r_S} &= (R+r) \boldsymbol e_R\\ \boldsymbol{v} &= (R+r) \dot{\varphi} \boldsymbol e_\varphi \\ \boldsymbol a &= \underbrace{-(R+r) \dot{\varphi}^2}_{a_R} \boldsymbol e_R + \underbrace{(R+r) \ddot \varphi}_{a_\varphi} \boldsymbol e_\varphi\end{split}\]

5. Normalkraft

Betrachten Sie ab hier den Fall, dass die Anfangsgeschwindigkeit Null ist, also \(v_0=0\).

Schneiden Sie die Kugel frei. Und berechnen Sie die Normalkraft \(N\) zwischen Kugel und Kreisbahn abhängig von \(\varphi\) - mit dem Schwerpunktsatz und für die gegebenen Symbole. Zeigen Sie, dass:

\[N = mg\left(\tfrac{17}{7} \cos{\varphi} - \tfrac{10}{7}\right)\]

Berechnen Sie \(N\) in \(\mathrm{N}\) (Newton) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\) für \(\varphi=45^\circ\) und für die Größen:

\[m = 5\,\mathrm{kg}\quad,\quad g = 9{,}81 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm s^2}\]

Lösung

Die Beschleunigung des Schwerpunkts in \(\boldsymbol e_R\)-Richtung ist:

\[\begin{split}a_R &= -(R+r) \dot{\varphi}^2 \\ &= -(R+r) \tfrac{v^2}{(R+r)^2} \\ &= - \tfrac{v^2}{R+r}\end{split}\]

Einsetzen dieser Beschleunigung in den Schwerpunktsatz in \(\boldsymbol e_R\)-Richtung:

\[\begin{split}ma_R &= N - mg \cos{\varphi}\\ -m \tfrac{v^2}{R+r} &= N - mg \cos{\varphi}\\ N &= mg \cos{\varphi} -m \tfrac{v^2}{R+r}\end{split}\]

Einsetzen von \(v^2\) wie oben berechnet sowie \(v_0=0\) ergibt:

\[\begin{split}N &= mg\left( \cos{\varphi} - \tfrac{10}{7}(1- \cos{\varphi})\right)\\ &= mg\left(\tfrac{17}{7} \cos{\varphi} - \tfrac{10}{7}\right)\end{split}\]

Einsetzen von \(\varphi=45^\circ\) und den gegebenen Größen ergibt:

\[N \stackrel{0{,}1}{\approx} 14{,}2\,\mathrm{N}\]

6. Abhebe-Winkel

Berechnen Sie den Winkel \(\varphi^*\), für den die Kugel abhebt, in \(^\circ\) (Grad) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\):

\[\varphi^*\stackrel{0{,}1}{\approx} \dots^\circ\]

Lösung

Die Kugel hebt ab für \(N=0\), so dass:

\[\begin{split}\tfrac{17}{7} \cos{\varphi^*} - \tfrac{10}{7}&= 0\\ \cos \varphi^* - \tfrac{10}{17}&=0\\ \varphi^* &\stackrel{0{,}1}{\approx} 54{,}0^\circ\end{split}\]