Eigenschaften der Transformationen
Periodizität
Die transformierten Komponenten sind gleich für Winkel, die sich um \(180^\circ\) unterscheiden:
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\
\mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y}
\end{bmatrix}
(\varphi + 180^\circ)
&=
\begin{bmatrix}
c_{\varphi+180^\circ} & s_{\varphi+180^\circ} \\
-s_{\varphi+180^\circ} & c_{\varphi+180^\circ}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
\mathsf{sym} & T_{yy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_{\varphi+180^\circ} & -s_{\varphi+180^\circ} \\
s_{\varphi+180^\circ} & c_{\varphi+180^\circ}
\end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix}
-c_{\varphi} & -s_{\varphi} \\
s_{\varphi} & -c_{\varphi}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
\mathsf{sym} & T_{yy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-c_{\varphi} & s_{\varphi} \\
-s_{\varphi} & -c_{\varphi}
\end{bmatrix}
\\
&=
(-1)\cdot
\begin{bmatrix}
c_{\varphi} & s_{\varphi} \\
-s_{\varphi} & c_{\varphi}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
\mathsf{sym} & T_{yy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_{\varphi} & -s_{\varphi} \\
s_{\varphi} & c_{\varphi}
\end{bmatrix}
\cdot(-1)
\\
&=
\begin{bmatrix}
c_{\varphi} & s_{\varphi} \\
-s_{\varphi} & c_{\varphi}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
\mathsf{sym} & T_{yy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_{\varphi} & -s_{\varphi} \\
s_{\varphi} & c_{\varphi}
\end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix}
T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\
\mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y}
\end{bmatrix}
(\varphi)\end{split}\]
Spezielle Winkel
\(\varphi = 0^\circ\) und aufgrund der Periodizität auch \(\varphi = \pm 180^\circ, \pm 360^\circ\) usw.:
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\
\mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
c_{0^\circ} & s_{0^\circ} \\
-s_{0^\circ} & c_{0^\circ}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
\mathsf{sym} & T_{yy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_{0^\circ} & -s_{0^\circ} \\
s_{0^\circ} & c_{0^\circ}
\end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
\mathsf{sym} & T_{yy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix}
c_{180^\circ} & s_{180^\circ} \\
-s_{180^\circ} & c_{180^\circ}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
\mathsf{sym} & T_{yy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_{180^\circ} & -s_{180^\circ} \\
s_{180^\circ} & c_{180^\circ}
\end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
\mathsf{sym} & T_{yy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
\mathsf{sym} & T_{yy}
\end{bmatrix}\end{split}\]
\(\varphi = 90^\circ\) und aufgrund der Periodizität auch \(\varphi = -90^\circ, \pm 270^\circ\) usw.:
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\
\mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
c_{90^\circ} & s_{90^\circ} \\
-s_{90^\circ} & c_{90^\circ}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
\mathsf{sym} & T_{yy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_{90^\circ} & -s_{90^\circ} \\
s_{90^\circ} & c_{90^\circ}
\end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
\mathsf{sym} & T_{yy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_{xy} & - T_{xx} \\
T_{yy} & - T_{xy}
\end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix}
T_{yy} & - T_{xy} \\
-T_{xy} & T_{xx}
\end{bmatrix}\end{split}\]
\(\varphi = 45^\circ\) und aufgrund der Periodizität auch \(\varphi = -135^\circ, 225^\circ\) usw.:
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\
\mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\bar{T} + T_{xy} & - \tilde T \\
\mathsf{sym} & \bar{T} - T_{xy}
\end{bmatrix}\end{split}\]
mit den Abkürzungen \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\) und \(\tilde T = \tfrac 12 \left( T_{xx} - T_{yy}\right)\).