A.2.4 Mohrscher Kreis
Bemerkung
Videos siehe A.0.8 Tensor
Gegeben
Die zwei Bezugssysteme \((x, y)\) und \((\bar x,\bar y)\).
Die dimensionslosen \((x,y)\)-Komponenten eines symmetrischen Tensors in 2D, zum Beispiel des Spannungstensors:
\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ \mathsf{sym} & 5 \end{bmatrix}\end{split}\]Die Formeln aus Passive Transformation.
Gesucht
Der Kreis, aus dem man verschiedene Größen ablesen kann.
Die Komponenten \((T_{\bar x\bar x}, T_{\bar x \bar y})\) für beliebige Winkel \(\varphi\).
Die Extremwerte:
Das maximale und minimale \(T_{\bar x\bar x}\) sowie die zugehörigen Winkel.
Das maximale und minimale \(T_{\bar x\bar y}\) sowie die zugehörigen Winkel.
a) Kreis
Horizontale Achse: \(T_{\bar x \bar x}\) Vertikale Achse: \(T_{\bar x \bar y}\)1. Zeichnen der Diagramm-Achsen
Punkt Komponenten Beispiel Position \(P_{0^\circ}\) \((T_{xx}, T_{xy})\) \((-1, 4)\) auf dem Kreis \(P_{90^\circ}\) \((T_{yy}, -T_{xy})\) \((5, -4)\) gegenüber \(P_{0^\circ}\) \(P_{M}\) \((\bar{T}, 0)\) \((2,0)\) Kreismittelpunkt mit \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\).2. Zeichnen des Kreises aus 3 Punkten
Punkt Komponenten Beispiel Position \(P_{\varphi_1}\) \((\bar{T} + r, 0)\) \(( 7 , 0 )\) 3 Uhr \(P_{\varphi_1+90^\circ}\) \((\bar{T} - r, 0)\) \((-3 , 0 )\) 9 Uhr \(P_{\varphi_1-45^\circ}\) \((\bar{T}, 0 + r)\) \(( 2 , 5 )\) 12 Uhr \(P_{\varphi_1+45^\circ}\) \((\bar{T}, 0 - r)\) \(( 2 , -5 )\) 6 Uhr mit \(\tilde T = \tfrac12 \left(T_{xx}-T_{yy}\right)\) und \(r = \sqrt{{\tilde T}^2 +T_{xy}^2}\).3. Zeichnen von weiteren 4 Punkten
b) Komponenten
Roten Radius zeichnen zwischen \(P_{M}\) und \(P_{0^\circ}\). Roten Winkel \(2\varphi\) zeichnen. Neuen Radius und neuen Punkt auf den Kreis zeichnen. Punktkoordinaten \((T_{\bar x\bar x}, T_{\bar x \bar y})\) ablesen. Beispiel Punkt Komponenten \(\varphi\) (blau) \(2 \varphi\) (rot) \(P_{0^\circ}\) \((-1, 4)\) \(0^\circ\) \(0^\circ\) \(P_{30^\circ}\) \((3{,}96, \, 4{,}60)\) \(30^\circ\) \(60^\circ\) \(P_{60^\circ}\) \((6{,}96, \, 0{,}60)\) \(60^\circ\) \(120^\circ\) \(P_{90^\circ}\) \((5, -4)\) \(90^\circ\) \(180^\circ\)Ablesen der Komponenten
c) Extremwerte
Punkt Komponenten Extremwert Winkel Def.-Bereich \(P_{\varphi_1}\) \((\max T_{\bar x \bar x} ,0)\) \(\max T_{\bar x \bar x}=\bar T + r\) \(\varphi_1\) \((-90^\circ, 90^\circ]\) \(P_{\varphi_1 + 90^\circ}\) \((\min T_{\bar x \bar x} ,0)\) \(\min T_{\bar x \bar x}=\bar T - r\) \(\varphi_1 \!+\! 90^\circ\) \((0^\circ, 180^\circ]\) \(P_{\varphi_1-45^\circ}\) \((\bar T, \max T_{\bar x \bar y})\) \(\max T_{\bar x \bar y}= r\) \(\varphi_1 \!-\! 45^\circ\) \((-135^\circ, 45^\circ]\) \(P_{\varphi_1+45^\circ}\) \((\bar T, \min T_{\bar x \bar y})\) \(\min T_{\bar x \bar y}= -r\) \(\varphi_1 \!+\! 45^\circ\) \((-45^\circ, 135^\circ]\) mit \(\varphi_1 =\arctan{} \tfrac{T_{xy}}{r + \tilde T}\). Merkzettel: Winkel, für den \(T_{\bar x \bar x}\) maximal ist mit \(\varphi_1 \in (-90^\circ, 90^\circ]\) Beispiel Punkt Komponenten Extremwert Winkel (gerundet auf 1 Grad) \(P_{\varphi_1}\) \((7,0)\) \(\max T_{\bar x \bar x}= 7\) \(63^\circ\) \(P_{\varphi_1+90^\circ}\) \((-3,0)\) \(\min T_{\bar x \bar x}= -3\) \(153^\circ\) \(P_{\varphi_1-45^\circ}\) \((2, 5)\) \(\max T_{\bar x \bar y}= 5\) \(18^\circ\) \(P_{\varphi_1+45^\circ}\) \((2, -5)\) \(\min T_{\bar x \bar y}= -5\) \(108^\circ\)Ablesen der Extremwerte und der zugehörigen Winkel