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Mohr’scher Kreis

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Spannungstensor

Der Mohr’sche Kreis kann verwendet werden für alle (symmetrischen) Tensoren in 2D, z.B. auch für den Flächenträgheitstensor und den Verzerrungstensor in 2D. Als Beispiel geht es hier um den Spannungstensor in 2D. Um Schreibarbeit zu sparen, werden dimensionslose Komponenten verwendet.

Gegeben

• Die Tensor-Komponenten, also die Spannungen entlang der Bezugssystem-Achsen, nämlich:

  • \(T_{xx}\): Die Zugspannung entlang der \(x\)-Achse.

  • \(T_{yy}\): Die Zugspannung entlang der \(y\)-Achse.

  • \(T_{xy}\): Die Schubspannung entlang der roten Schubspannungs-Pfeile.

• Die Richtung der roten Pfeile, und damit die Zählrichtung für die Spannungen, ergibt sich aus der Schnittufer-Konvention: Am positiven Schnittufer zeigen die Pfeile in Richtung der Bezugssystem-Achsen. Am negativen Schnittufer genau entgegengesetzt dazu.

• Der graue Harpunen-Pfeil in der Mitte des grauen Quadrats beschreibt die links und rechts gleiche Ausrichtung des Materials. Und dieses Material erleidet links wie rechts denselben Spannungszustand.

• Es gibt zwei Bezugssysteme: Das blaue System rechts ist relativ zum grünen gedreht um den Winkel \(\varphi\).

Gegeben:

• Die zwei Bezugssysteme \((x, y)\) und \((\bar x,\bar y)\).

• Der Winkel \(\varphi\), also die Winkelposition des blauen Systems relativ zum grünen.

• Die grünen Komponenten, hier als Beispiel:

  \begin{align*} \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ \mathsf{sym} & 5 \end{bmatrix} \end{align*}

Gesucht

• Der Mohr’sche Kreis.

• Die blauen Komponenten \((T_{\bar x\bar x}, T_{\bar x \bar y}, T_{\bar y \bar y})\) für beliebige Winkel \(\varphi\), also:

  • \(T_{\bar x \bar x}\): Die Zugspannung entlang der \(\bar x\)-Achse.

  • \(T_{\bar y \bar y}\): Die Zugspannung entlang der \(\bar y\)-Achse.

  • \(T_{\bar x \bar y}\): Die Schubspannung entlang der Schubspannungs-Pfeile.

• Die Extremwerte

  • Das maximale und minimale \(T_{\bar x\bar x}\) sowie die zugehörigen Winkel.

  • Das maximale und minimale \(T_{\bar x\bar y}\) sowie die zugehörigen Winkel.

Kreis

3 Punkte, um den Kreis zu zeichnen

Punkt	Winkel \(\varphi\)	Position	\((T_{\bar x \bar x} , T_{\bar x \bar y})\)
1	\(0^\circ\)	auf dem Kreis	\((T_{xx}, T_{xy}) = (-1, 4)\)
2	\(90^\circ\)	gegenüber von Punkt 1	\((T_{yy}, -T_{xy})= (5, -4)\)
3	\(-\)	Kreismittelpunkt	\((\bar{T}, 0) = (2,0)\)

mit \(\bar T\) siehe Abkürzungen „Mohr’scher Kreis“.

Algorithmus: Komponenten am Kreis ablesen z.B. für \(\varphi=30^\circ\)

1. Grauen Pfeil zeichnen zum \(0^\circ\)-Punkt.

2. Roten Winkel \(2\varphi=60^\circ\) zeichnen und grauen Pfeil um diesen Winkel drehen auf roten Pfeil.

3. Neuen Punkt zeichnen an der Spitze des roten Pfeils.

4. Die Komponenten \(\left(T_{\bar x\bar x}, T_{\bar x \bar y} \right) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}(3{,}96, 4{,}60)\) ablesen als die Punktkoordinaten des Punkts.

5. Die Komponenten \(\left(T_{\bar y\bar y}, -T_{\bar x \bar y}\right) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}(0{,}04, -4{,}60)\) ablesen als die Punktkoordinaten des Punkts gegenüber an der Spitze des rosa Pfeils.

Extremwerte

Algorithmus: Extremwerte, Winkel und Richtungen der Schnittflächen

1. Punkt auf 3-Uhr-Position:

   • \(T_{\bar x\bar x}\) ist maximal.

   • Der zugehörige Winkel \(\varphi_1\) ist bei 9 Uhr an der gestrichelten Linie.

   • Die zugehörige Schnittfläche ist senkrecht zur gestrichelten Linie.

2. Punkt auf 9-Uhr-Position:

   • \(T_{\bar x\bar x}\) ist minimal.

   • Der zugehörige Winkel ist gleich \(\varphi_1+90^\circ\).

   • Die zugehörige Schnittfläche ist parallel zur gestrichelten Linie.

3. Punkte auf 12-Uhr- und 6-Uhr-Position:

   • \(T_{\bar x\bar y}\) ist maximal bzw. minimal.

   • Die zugehörigen Winkel sind gleich \(\varphi_1\mp 45^\circ\).

   • Die zugehörigen Schnittflächen sind um \(45^\circ\) gedreht relativ zur gestrichelten Linie.

4 Punkte, um die Extremwerte abzulesen

Punkt bei	Winkel \(\varphi\)	Def.-Bereich	\((T_{\bar x \bar x} , T_{\bar x \bar y})\)
3 Uhr	\(\varphi_1 \stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} 63^\circ\)	\((-90^\circ, 90^\circ ]\)	\((\max T_{\bar x \bar x} ,0 ) = ( 7 , 0 )\)
9 Uhr	\(\varphi_1 \!+\! 90^\circ \stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} 153^\circ\)	\((0^\circ, 180^\circ ]\)	\((\min T_{\bar x \bar x} ,0 ) = (-3 , 0 )\)
12 Uhr	\(\varphi_1 \!-\! 45^\circ \stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} 18^\circ\)	\((-135^\circ, 45^\circ]\)	\((\bar T, \max T_{\bar x \bar y}) = ( 2 , 5 )\)
6 Uhr	\(\varphi_1 \!+\! 45^\circ \stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} 108^\circ\)	\((-45^\circ, 135^\circ]\)	\((\bar T, \min T_{\bar x \bar y}) = ( 2 , -5 )\)

mit \(\max T_{\bar x \bar x}, \min T_{\bar x \bar x}, \ldots, \varphi_1\) siehe Abkkürzungen „Mohr’scher Kreis“.

Abkürzungen „Mohr’scher Kreis“

Abkürzung	Bedeutung
\(\bar T = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\)	Position des Kreismittelpunkts auf der horizontalen Achse
\(\tilde T = \tfrac12 \left(T_{xx} - T_{yy}\right)\)	Anteil nach rechts des dunkelgrauen Pfeils zwischen Mittelpunkt und \(0^\circ\)-Punkt
\(r = \sqrt{{\tilde T}^2 +T_{xy}^2}\)	Kreisradius
\(\max T_{\bar x \bar x} = \bar T + r\) \(\min T_{\bar x \bar x} = \bar T - r\)	größte Normalspannung = größter Eigenwert, 3 Uhr kleinste Normalspannung = kleinster Eigenwert, 9 Uhr
\(\max T_{\bar x \bar y} = r\) \(\min T_{\bar x \bar y} = - r\)	größte Schubspannung, 12 Uhr kleinste Schubspannung, 6 Uhr
\(\varphi_1 = \arctan{} \tfrac{T_{xy}}{T_{xx} - \min T_{\bar x \bar x}}\)	Winkel, für den \(T_{\bar x \bar x}\) maximal ist Winkelposition d. Eigenvektors zum größten Eigenwert Berechnung siehe rechtwinkliges Dreieck bei 9 Uhr

Web-App

Passive Transformation

Details siehe Tensor: Transformation.

Formeln „Passive Transformation“

\begin{align} \label{trafo_tensor_eq_passive_matrix} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T} \tag{PT} \end{align}

mit \(R_\varphi = \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi \\-s_\varphi & c_\varphi\end{bmatrix}\) und \(R_\varphi^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\varphi\).

Mit den Abkürzungen \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\) und \(\tilde T = \tfrac 12 \left( T_{xx} - T_{yy}\right)\) ist (PT) dasselbe wie:

\begin{align} T_{\bar x \bar x} &= \bar{T} + \tilde T c_{2\varphi} + T_{xy} s_{2\varphi} \tag{PT.1}\\ T_{\bar x \bar y} &= - \tilde T s_{2\varphi} + T_{xy} c_{2\varphi} \tag{PT.2}\\ T_{\bar y \bar y} &= \bar{T} - \tilde T c_{2\varphi} - T_{xy} s_{2\varphi} \tag{PT.3}\\ \end{align}

Warum dreht man um den doppelten Winkel?

1. Den Punkt auf dem Kreis, der zum Winkel \(\varphi\) gehört und an dem man die transformierten Komponenten \((T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x\bar y})\) abliest, findet man durch Drehung des dunkelgrauen Pfeils, der vom Kreis-Mittelpunkt zum Punkt bei null Grad gehört.

2. Und am Punkt gegenüber liest man \((T_{\bar y \bar y}, - T_{\bar x\bar y})\) ab.

Warum ist das so?

(PT.1) und (PT.2) anders notiert:

\begin{align} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} \\ T_{\bar x \bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \end{align}

Der dunkelgraue Pfeil mit den Komponenten \(( \tilde T, T_{xy} )\) aktiv gedreht mit Drehwinkel \(\alpha = -2\varphi\) zeigt auf den Punkt, der zum Winkel \(\varphi\) gehört.

(PT.3) und (PT.2) anders notiert:

\begin{align} \begin{bmatrix} T_{\bar y \bar y} \\ - T_{\bar x\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_{\alpha'} & -s_{\alpha'} \\ s_{\alpha'} & c_{\alpha'} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \end{align}

Der dunkelgraue Pfeil aktiv gedreht mit Drehwinkel \(\alpha' = - 2 \varphi - 180^\circ\) zeigt auf den Punkt, der zum Winkel \(\varphi+ 90^\circ\) gehört.