M.2.B

Bemerkung

Grundlagen und Videos: A.0.7 Vektor-Komponenten

Gegeben:

• Das grüne \((x,y)\)-Bezugssystem und das blaue \((\bar x, \bar y)\)-Bezugssystem.

• Der Winkel \(\varphi=10^\circ\), um den das blaue Bezugssystem relativ zum grünen Bezugssystem gedreht ist.

• Die Komponenten des roten Vektors \(\boldsymbol v\) im grünen Bezugssystem:

  \[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\end{split}\]

Gesucht:

Die Komponenten des Vektors im blauen Bezugssystem:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

a) Kosinus und Sinus

Berechnen Sie Kosinus und Sinus des gegebenen Winkels \(\varphi=10^\circ\) - und zwar gerundet auf \(0{,}01\):

\[\begin{split}c_{10^\circ} &\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \ldots \\ s_{10^\circ} &\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \ldots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}c_{10^\circ} &\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} 0{,}98 \\ s_{10^\circ} &\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} 0{,}17\end{split}\]

b) Drehmatrix

Passive Transformation:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix} &= \underbrace{ \begin{bmatrix} c_\varphi & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{bmatrix} }_{R_\varphi} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen Sie die vier Einträge der Drehmatrix \(R_\varphi,\) und zwar gerundet auf \(0{,}01\):

\[\begin{split}R_\varphi \stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}{R_\varphi} &= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} c_{10^\circ} & s_{10^\circ} \\ -s_{10^\circ} & c_{10^\circ} \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}98 & 0{,}17 \\ -0{,}17 & 0{,}98 \end{bmatrix}\end{split}\]

c) Komponenten im gedrehten Bezugssystem

Berechnen Sie gerundet auf \(0{,}01\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix} \stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

Zeigen Sie an einer Skizze, dass das Ergebnis plausibel ist.

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix}v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{10^\circ} & s_{10^\circ} \\ -s_{10^\circ} & c_{10^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 3{,}65 \\ 3{,}42 \end{bmatrix}\end{split}\]

Plausibilitätskontrolle:

• Die beiden Bezugssysteme zeichnen.

• Den Vektor zeichnen.

• Die Komponenten ablesen.

e) Infinitesimale Drehung

Die Komponenten im gedrehten Bezugssystem sind (abhängig von \(\varphi\)):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix} &= \underbrace{ \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix} }_{R_\varphi} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\end{split}\]

Für betragsmäßig kleine Winkel \(\varphi\) gilt: \(c_\varphi\approx 1\) und \(s_\varphi\approx \varphi\). Falls das \((\bar x, \bar y)\)-Bezugssystem nur sehr wenig (infinitesimal) relativ zum \((x, y)\)-Bezugssystem gedreht ist, gilt daher näherungsweise:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix} &= \underbrace{ \begin{bmatrix} 1 & \varphi \\ -\varphi & 1 \end{bmatrix} }_{\tilde R_\varphi} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\end{split}\]

Füllen Sie folgende Tabelle mit Werten gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}0001\).

Werte gerundet auf Rundestellenwert 0,0001

\(\varphi\)	\(R_\varphi=\begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix}\)	\(\tilde R_\varphi=\begin{bmatrix} 1 & \varphi \\ -\varphi & 1 \end{bmatrix}\)	\(R_\varphi \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\)	\(\tilde R_\varphi \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\)
\(1^\circ\)	\(\begin{bmatrix}0{,}9998 & 0{,}0175\\-0{,}0175 & 0{,}9998\end{bmatrix}\)	\(\ldots\)	\(\begin{bmatrix}3{,}0694\\3{,}947\end{bmatrix}\)	\(\ldots\)
\(3^\circ\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
\(-3^\circ\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
\(5^\circ\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)

Lösung

Werte gerundet auf Rundestellenwert 0,0001

\(\varphi\)	\(R_\varphi=\begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix}\)	\(\tilde R_\varphi=\begin{bmatrix} 1 & \varphi \\ -\varphi & 1 \end{bmatrix}\)	\(R_\varphi \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\)	\(\tilde R_\varphi \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\)
\(1^\circ\)	\(\begin{bmatrix}0{,}9998 & 0{,}0175\\-0{,}0175 & 0{,}9998\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}1{,}0 & 0{,}0175\\-0{,}0175 & 1{,}0\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}3{,}0694\\3{,}947\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}3{,}0698\\3{,}9476\end{bmatrix}\)
\(3^\circ\)	\(\begin{bmatrix}0{,}9986 & 0{,}0523\\-0{,}0523 & 0{,}9986\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}1{,}0 & 0{,}0524\\-0{,}0524 & 1{,}0\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}3{,}2052\\3{,}8375\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}3{,}2094\\3{,}8429\end{bmatrix}\)
\(-3^\circ\)	\(\begin{bmatrix}0{,}9986 & -0{,}0523\\0{,}0523 & 0{,}9986\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}1{,}0 & -0{,}0524\\0{,}0524 & 1{,}0\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}2{,}7865\\4{,}1515\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}2{,}7906\\4{,}1571\end{bmatrix}\)
\(5^\circ\)	\(\begin{bmatrix}0{,}9962 & 0{,}0872\\-0{,}0872 & 0{,}9962\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}1{,}0 & 0{,}0873\\-0{,}0873 & 1{,}0\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}3{,}3372\\3{,}7233\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}3{,}3491\\3{,}7382\end{bmatrix}\)

f) Web-App

Anleitung

\((v_{\bar x} , v_{\bar x})\) für einen gegebenen Winkel \(\varphi\) am Kreis ablesen:

1. Ganzzahliges Vielfaches von \(360^\circ\) zu \(\varphi\) addieren, so dass \(\varphi\) zwischen \(-180^\circ \le \varphi \le 180^\circ\)

2. Diesen Winkel \(\varphi\) am Schieberegler einstellen, und zwar in \(^\circ\) (Grad).

3. \((v_{\bar x} , v_{\bar x})\) am Kreis ablesen als die Koordinaten des Punkts auf dem Kreis.

Beispiele:

\(\varphi\)	Bezugssystem-Drehung	\(\varphi / \mathrm{deg}\) auf Schieberegler
\(10^\circ\)	10 Grad gegen Uhrzeigersinn	10
\(-10^\circ\)	10 Grad im Uhrzeigersinn	-10
\(370^\circ\)	370 Grad gegen Uhrzeigersinn	10
\(190^\circ\)	190 Grad gegen Uhrzeigersinn	-170

g) Weitere Beispiele

Werte gerundet auf Rundestellenwert 0,01

\(\varphi\)	\(\begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi \\ -s_\varphi & c_\varphi \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \end{bmatrix}\)
\(10^\circ\)	\(\begin{bmatrix} 0{,}98 & 0{,}17 \\ -0{,}17 & 0{,}98 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} 3{,}65\\ 3{,}42 \end{bmatrix}\)
\(90^\circ\)	\(\begin{bmatrix} 0{,}0 & 1{,}0 \\ -1{,}0 & 0{,}0 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} 4{,}0 \\ -3{,}0 \end{bmatrix}\)
\(180^\circ\)	\(\begin{bmatrix} -1{,}0 & 0{,}0 \\ 0{,}0 & -1{,}0 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} -3{,}0 \\ -4{,}0 \end{bmatrix}\)
\(-170^\circ\)	\(\begin{bmatrix} -0{,}98 & -0{,}17 \\ 0{,}17 & -0{,}98 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} -3{,}65 \\ -3{,}42 \end{bmatrix}\)

Negative Winkel

• Anstatt \(5\,\mathrm{m}\) (Meter) nach hinten zu gehen, kann man gleichbedeutend \(-5\,\mathrm{m}\) nach vorne gehen.

• Anstatt \(-10\,\mathrm{m}\) (Meter) nach rechts abzumessen, kann man gleichbedeutend \(+10\,\mathrm{m}\) nach links abmessen.

• Anstatt \(-170^\circ\) entgegen dem Uhrzeigersinn abzumessen, kann man gleichbedeutend \(+ 170^\circ\) im Uhrzeigersinn abmessen.

h) Quiz

Programm

SymPy

Nachfolgend ein Programm, dass Sie ausführen können:

• Auf dem PC z.B. mit Anaconda.

• Im Browser (online) in drei Schritten:

  1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

  2. Paste: Source Code als Python-Notebook einfügen z.B. auf:

     • JupyterLab oder

     • Colab.

  3. Play: Ausführen.

# -*- coding: utf-8 -*-
from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
Newton    =  kg*m/s**2
kN        =  10**3*Newton
Pa        =  Newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
import decimal
from decimal import Decimal as DX
from copy import deepcopy
def iso_round(obj, pv,
    rounding=decimal.ROUND_HALF_EVEN):
    import sympy
    """
    Rounding acc. to DIN EN ISO 80000-1:2013-08
    place value = Rundestellenwert
    """
    assert pv in set([
        # place value   #  round to:
        "1",              #  round to integer
        "0.1",            #  1st digit after decimal
        "0.01",           #  2nd
        "0.001",          #  3rd
        "0.0001",         #  4th
        "0.00001",        #  5th
        "0.000001",       #  6th
        "0.0000001",      #  7th
        "0.00000001",     #  8th
        "0.000000001",    #  9th
        "0.0000000001",   # 10th
        ])
    objc = deepcopy(obj)
    try:
        tmp = DX(str(float(objc)))
        objc = tmp.quantize(DX(pv), rounding=rounding)
    except:
        for i in range(len(objc)):
            tmp = DX(str(float(objc[i])))
            objc[i] = tmp.quantize(DX(pv), rounding=rounding)
    return objc

prec = "0.01"

v = Matrix([3, 4])
p =  -4  *deg

lin = True
# lin = False

pprint("\nv:")
tmp = v
pprint(v)

pprint("\nφ / deg:")
tmp = p / deg
pprint(tmp)


if lin:
    pprint("\nInfinitesimal Rotation.")
    R = Matrix([[1, p],[-p, 1]])
else:
    pprint("\nFinite Rotation.")
    c, s = cos(p), sin(p)
    R = Matrix([[c, s],[-s, c]])

# pprint("\nR:")
# tmp = R
# tmp = iso_round(tmp,prec)
# pprint(tmp)

pprint("\n(vx\u0304, vy\u0304):")
vb = R*v
tmp = vb
tmp = iso_round(tmp,prec)
pprint(tmp)

  
v:
⎡3⎤
⎢ ⎥
⎣4⎦
        
φ / deg:
10
                       
Infinitesimal Rotation.
         
(vx̄, vȳ):
⎡3.7 ⎤
⎢    ⎥
⎣3.48⎦

Statt SymPy lieber anderes CAS (Computeralgebrasystem) verwenden? Eine Auswahl verschiedener CAS gibt es hier.