R2-Element

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2-Knoten-Stab-Element: Prinzip der virtuellen Leistung. Äußere Lasten: Einzel-Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) an den Knoten, Einzelkraft \(F\) zwischen den Knoten, verteilte Kraft \(n\) und Wärmeausdehnung (Verzerrung aufgrund Temperaturzuwachs) \(\epsilon\) . Lineares System in 1D und in 2D. Verwendung von \((x,y)\)-Bezugssystem bzw. von \((x_1, y_1)\)- und \((x_2, y_2)\)-Bezugssystem.

Bezeichnungen

• \((x,y)\): Bezugssystem.

• \((\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_2)\): Knotenverschiebungen.

• \(S\): Stabkraft: Wie üblich definiert, so dass für einen Zugstab gilt: \(S>0\).

• \((\boldsymbol F_1, \boldsymbol F_2)\): Resultierende der Kräfte am Knoten (abgesehen von \(S\)).

Stab mit Winkelposition \(\varphi\):

• \(\boldsymbol e\): Einheitsvektor in Stabrichtung: Vom ersten Knoten 1 zum zweiten Knoten 2.

• Zählrichtung der Winkelposition \(-180^\circ < \varphi \le 180^\circ\): Positiv um die \(z\)-Achse.

• Nullpunkt der Winkelposition: Es gilt \(\varphi=0\), falls \(x\) und \(\boldsymbol e\) deckungsgleich sind.

Merksatz: Man müsste die \(x\)-Achse um \(\varphi\) drehen, so dass sie deckungsgleich wäre mit \(\boldsymbol e\).

Für den Sonderfall, dass es Lokale Bezugssysteme gibt, gilt:

• Es gibt zwei Winkel, nämlich \(-180^\circ < \varphi_1, \varphi_2\le 180^\circ\).

• Es gibt zwei Bezugssysteme, nämlich \((x_1, y_1)\) und \((x_2, y_2)\).

• Nullpunkt 1: Es gilt \(\varphi_1=0\), falls \(x_1\) und \(\boldsymbol e\) deckungsgleich sind.

• Nullpunkt 2: Es gilt \(\varphi_2=0\), falls \(x_2\) und \(\boldsymbol e\) deckungsgleich sind.

Geometrie und Material:

• \((l, \Delta l)\): (Stablänge undeformiert, Stabverlängerung).

• \((E, A)\): (Elastiztätsmodul des Stab-Materials, Querschnittsfläche).

Interpolation

Als Ansatzfunktionen, also zur Interpolation, werden folgende Lagrange-Polynome mit der Abkürzung \(\xi = \tfrac{\bar{x}}{l}\) verwendet.

Ansatzfunktionen

\begin{align} \label{eq-R2_L} N_1 &= 1 - \left( \tfrac{\bar{x}}{l} \right) = 1 - \xi \tag{L1}\\ N_2 &= \left( \tfrac{\bar{x}}{l} \right) = \xi \tag{L2} \end{align}

Ableitungen

\begin{align} N_1' &= \tfrac{\partial N_1}{\partial \bar{x}} = - \tfrac{1}{l} \tag{L1x} \\ N_{1'} &= \tfrac{\partial N_1}{\partial \xi} = - 1 \\ \\ N_2' &= \tfrac{\partial N_2}{\partial \bar{x}} = \tfrac{1}{l} \tag{L2x} \\ N_{2'} &= \tfrac{\partial N_2}{\partial \xi} = 1 \end{align}

Verschiebung, virt. Geschwindigkeit

\[\begin{split}u &= N_1 u_1 + N_2 u_2 \\ \delta v &= N_1 \delta v_1 + N_2 \delta v_2\end{split}\]

An der Position \(\xi = \xi_F\):

\[\begin{split}\delta v_F &= {N_1}|_{\xi_F} \delta v_1 + {N_2}|_{\xi_F} \delta v_2 \\ &= \begin{bmatrix} \delta v_1 & \delta v_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {N_1}\\ {N_2} \end{bmatrix}_{\xi_F}\end{split}\]

Verzerrung, Gradient der virt. Geschwindigkeit

\begin{align} \varepsilon - \epsilon &= \tfrac{\partial u}{\partial \bar{x}} - \epsilon \\ &= N_1' u_1 + N_2' u_2 - \epsilon \tag{e1}\\ \\ \tfrac{\partial}{\partial \bar{x}} \delta v &= N_1' \delta v_1 + N_2' \delta v_2 \end{align}

Details zu den Ansatzfunktionen

Funktionswerte an den Knoten:

\[\begin{split}N_1(\xi=0) &= 1 \\ N_1(\xi=1) &= 0 \\ \\ N_2(\xi=0) &= 0 \\ N_2(\xi=1) &= 1\end{split}\]

Virtuelle Leistung

Virt. äußere Leistung

\[\begin{split}\delta P_e &= F_1 \delta v_1 + F_2 \delta v_2 + F \delta v_F + \int_{{\bar{x}}=0}^l n \, {\mathsf d}{\bar{x}} \, \delta v \\ &= \begin{bmatrix} \delta v_1 & \delta v_2 \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} + F \begin{bmatrix} {N_1}\ \\ {N_2} \end{bmatrix}_{\xi = \xi_F} + \begin{bmatrix} \int_{{\bar{x}}=0}^l n N_1 \, {\mathsf d}{\bar{x}} \\ \int_{{\bar{x}}=0}^l n N_2 \, {\mathsf d}{\bar{x}} \end{bmatrix} \right\} \\ &= \begin{bmatrix} \delta v_1 & \delta v_2 \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} + F \begin{bmatrix} {N_1}\ \\ {N_2} \end{bmatrix}_{\xi = \xi_F} + \begin{bmatrix} l \int_{\xi=0}^1 n N_1 \, {\mathsf d}{\xi} \\ l \int_{\xi=0}^1 n N_2 \, {\mathsf d}{\xi} \end{bmatrix} \right\} \\ &= \begin{bmatrix} \delta v_1 & \delta v_2 \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} + F \begin{bmatrix} {N_1}\ \\ {N_2} \end{bmatrix}_{\xi = \xi_F} + l \begin{bmatrix} \int_{0}^1 n N_1 \, {\mathsf d}{\xi} \\ \int_{0}^1 n N_2 \, {\mathsf d}{\xi} \end{bmatrix} \right\}\end{split}\]

Virt. innere Leistung

Für konstantes \(E\) und \(A\):

\[\begin{split}\delta P_i &= \int_{\bar{x}=0}^l E \left(\varepsilon - \epsilon\right) \tfrac{\partial}{\partial \bar{x}} \delta v \, A \, {\mathsf d}\bar{x} \\ &= EA \int_{\bar{x}=0}^l \left(\varepsilon - \epsilon\right) \tfrac{\partial}{\partial \bar{x}} \delta v \, {\mathsf d}\bar{x} \\ &= EA l \int_{\xi=0}^1 \left(\varepsilon - \epsilon\right) \tfrac{\partial}{\partial \bar{x}} \delta v \, {\mathsf d}\xi \\ &=EA l \int_{0}^1 \left(N_1' u_1 + N_2' u_2 - \epsilon \right) \left(N_1' \delta v_1 + N_2' \delta v_2\right) \, {\mathsf d}\xi \\ &=EA l \int_{0}^1 \begin{bmatrix} \delta v_1 & \delta v_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} N_1' \\ N_2' \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} N_1' & N_2' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \end{bmatrix} - \epsilon \right\} \, {\mathsf d}\xi \\ &=EA l \begin{bmatrix} \delta v_1 & \delta v_2 \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} \int_{0}^1 N_1'N_1' {\mathsf d}\xi & \int_{0}^1 N_2'N_1'{\mathsf d}\xi \\ \int_{0}^1 N_1'N_2' {\mathsf d}\xi & \int_{0}^1 N_2'N_2'{\mathsf d}\xi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \int_{0}^1 \epsilon N_1' {\mathsf d}\xi \\ \int_{0}^1 \epsilon N_2' {\mathsf d}\xi \\ \end{bmatrix} \right\} \\ &= \begin{bmatrix} \delta v_1 & \delta v_2 \end{bmatrix} \left\{ \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} 1 & - 1\\ - 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \end{bmatrix} -EAl \begin{bmatrix} \int_{0}^1 \epsilon N_1' {\mathsf d}\xi \\ \int_{0}^1 \epsilon N_2' {\mathsf d}\xi \\ \end{bmatrix} \right\} \\ &= \begin{bmatrix} \delta v_1 & \delta v_2 \end{bmatrix} \left\{ \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} 1 & - 1\\ - 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \end{bmatrix} -EA \begin{bmatrix} \int_{0}^1 \epsilon N_{1'} {\mathsf d}\xi \\ \int_{0}^1 \epsilon N_{2'} {\mathsf d}\xi \\ \end{bmatrix} \right\}\end{split}\]

Lineares System

1D

\begin{align*} \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} 1 & - 1\\ \mathsf{sym} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \end{bmatrix} = \ldots\\ \ldots = \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} + F \begin{bmatrix} 1 - \xi_F \\ \xi_F \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \int_{0}^1 n N_1 {\mathsf d}\xi\\ \int_{0}^1 n N_2 {\mathsf d}\xi \end{bmatrix} + EA \begin{bmatrix} \int_{0}^1 \epsilon N_{1'} {\mathsf d}\xi \\ \int_{0}^1 \epsilon N_{2'} {\mathsf d}\xi \\ \end{bmatrix} \end{align*}

Die 3 letzten Terme, die entstehen aufgrund der Belastungen im Innern des Elements, nennt man R2_equi.

2D

Übergang zum grünen globalen \((x, y)\)-Bezugssystem liefert:

\begin{align*} \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} c^2 & cs & -c^2 & -cs \\ & s^2 & -cs & -s^2 \\ & & c^2 & cs \\ \mathsf{sym} & & & s^2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \\ u_{2x} \\ u_{2y} \\ \end{bmatrix} = \ldots \\ \ldots = \begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \\ F_{2x} \\ F_{2y} \\ \end{bmatrix} \!+\! F\! \begin{bmatrix} \left(1 - \xi_F\right) c \\ \left(1 - \xi_F\right) s \\ \xi_F \, c \\ \xi_F \, s \\ \end{bmatrix} \!+\! l \! \begin{bmatrix} \int_{0}^1 n N_1 {\mathsf d}{\xi} \, c \\ \int_{0}^1 n N_1 {\mathsf d}{\xi} \, s \\ \int_{0}^1 n N_2 {\mathsf d}{\xi} \, c \\ \int_{0}^1 n N_2 {\mathsf d}{\xi} \, s \\ \end{bmatrix} \!+\! EA \begin{bmatrix} \int_{0}^1 \epsilon N_{1'} {\mathsf d}\xi \, c\\ \int_{0}^1 \epsilon N_{1'} {\mathsf d}\xi \, s\\ \int_{0}^1 \epsilon N_{2'} {\mathsf d}\xi \, c\\ \int_{0}^1 \epsilon N_{2'} {\mathsf d}\xi \, s\\ \end{bmatrix} \end{align*}

Übergang zu den grünen lokalen Bezugssystemen \((x_1, y_1)\) am Knoten 1 sowie \((x_2, y_2)\) am Knoten 2 liefert:

\begin{align*} \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} c_{1}^{2} & c_{1} s_{1} & - c_{1} c_{2} & - c_{1} s_{2}\\ & s_{1}^{2} & - c_{2} s_{1} & - s_{1} s_{2}\\ & & c_{2}^{2} & c_{2} s_{2}\\ \mathsf{sym} & & & s_{2}^{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x1} \\ u_{1y1} \\ u_{2x2} \\ u_{2y2} \\ \end{bmatrix} = \ldots \\ \ldots = \begin{bmatrix} F_{1x1} \\ F_{1y1} \\ F_{2x2} \\ F_{2y2} \\ \end{bmatrix} \!+\! F\! \begin{bmatrix} \left(1 - \xi_F\right) c_1 \\ \left(1 - \xi_F\right) s_1 \\ \xi_F \, c_2 \\ \xi_F \, s_2 \\ \end{bmatrix} \!+\! l \! \begin{bmatrix} \int_{0}^1 n N_1 {\mathsf d}{\xi} \, c_1 \\ \int_{0}^1 n N_1 {\mathsf d}{\xi} \, s_1 \\ \int_{0}^1 n N_2 {\mathsf d}{\xi} \, c_2 \\ \int_{0}^1 n N_2 {\mathsf d}{\xi} \, s_2 \\ \end{bmatrix} \!+\! EA \begin{bmatrix} \int_{0}^1 \epsilon N_{1'} {\mathsf d}\xi \, c_1\\ \int_{0}^1 \epsilon N_{1'} {\mathsf d}\xi \, s_1\\ \int_{0}^1 \epsilon N_{2'} {\mathsf d}\xi \, c_2\\ \int_{0}^1 \epsilon N_{2'} {\mathsf d}\xi \, s_2\\ \end{bmatrix} \end{align*}

Details zum Übergang von 1D auf 2D

• Der 1D-Fall wurde notiert bezüglich dem blauen \((\bar x, \bar y)\)-Bezugssystem und für den Spezialfall, dass es Kräfte und Verschiebungen nur in der \(\bar x\)-Richtung gibt.

• Die blaue \(\bar x\)-Richtung lässt sich o. B. d. A. in Richtung der Stabkraft legen.

• Für die Stabverlängerung (und damit die Stabkraft) gilt (näherungsweise):

  \[\Delta l = \boldsymbol e \cdot \left(\boldsymbol u_2 - \boldsymbol u_1 \right)\]

• Der Anteil der Verschiebungen senkrecht zur \(\bar x\)-Richtung (also in \(\bar y\)-Richtung) wirkt sich nicht aus, weil er durch das Skalarprodukt verloren geht.

• Daher lässt sich o. B. d. A. annehmen, dass die Verschiebungen senkrecht zur \(\bar x\)-Richtung gleich Null sind.

Passive Transformation von Vektor-Komponenten im um den Winkel \(\varphi\) gedrehten System mit den Abkürzungen \((c, s) = \left(\cos\varphi, \sin\varphi\right)\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \\ u_{2x} \\ u_{2y} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c & -s & 0 & 0 \\ s & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & -s \\ 0 & 0 & s & c \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ 0 \\ u_2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} f_{1x} \\ f_{1y} \\ f_{2x} \\ f_{2y} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c & -s & 0 & 0 \\ s & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & -s \\ 0 & 0 & s & c \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_1 \\ 0 \\ f_2 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Invertiert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_1 \\ 0 \\ u_2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c & s & 0 & 0 \\ -s & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & s \\ 0 & 0 & -s & c \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \\ u_{2x} \\ u_{2y} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} f_1 \\ 0 \\ f_2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c & s & 0 & 0 \\ -s & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & s \\ 0 & 0 & -s & c \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_{1x} \\ f_{1y} \\ f_{2x} \\ f_{2y} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Dies einsetzen in das Lineare System in 1D liefert:

\begin{align*} \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1} \\ 0 \\ u_{2} \\ 0 \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} f_{1} \\ 0 \\ f_{2} \\ 0 \\ \end{bmatrix} \\ \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c & s & 0 & 0 \\ -s & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & s \\ 0 & 0 & -s & c \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \\ u_{2x} \\ u_{2y} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c & s & 0 & 0 \\ -s & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & s \\ 0 & 0 & -s & c \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_{1x} \\ f_{1y} \\ f_{2x} \\ f_{2y} \\ \end{bmatrix} \end{align*}

Und bei lokalen Bezugssystemen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_{1x1} \\ u_{1y1} \\ u_{2x2} \\ u_{2y2} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_1 & -s_1 & 0 & 0 \\ s_1 & c_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c_2 & -s_2 \\ 0 & 0 & s_2 & c_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ 0 \\ u_2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} f_{1x1} \\ f_{1y1} \\ f_{2x2} \\ f_{2y2} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_1 & -s_1 & 0 & 0 \\ s_1 & c_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c_2 & -s_2 \\ 0 & 0 & s_2 & c_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_1 \\ 0 \\ f_2 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy import pprint, Matrix, var

pprint("\n\nPassive Transformation:")
c, s = var("c, s")
C = Matrix([
   [1, 0,-1,0],
   [0,0,0,0], 
   [-1,0,1,0], 
   [0,0,0,0]]
   )
pprint(C)
R = Matrix([
   [c,s,0,0], 
   [-s,c,0,0], 
   [0, 0,c,s], 
   [0,0,-s,c]]
   )
Rt = R.transpose()
tmp = Rt*C*R
pprint(tmp)

# Local Frames:
c1, s1 = var("c1, s1")
c2, s2 = var("c2, s2")
C = Matrix([
   [1, 0,-1,0], 
   [0,0,0,0], 
   [-1,0,1,0], 
   [0,0,0,0]]
   )
pprint(C)
R = Matrix([
   [c1,s1,0,0], 
   [-s1,c1,0,0], 
   [0, 0,c2,s2], 
   [0,0,-s2,c2]]
   )
Rt = R.transpose()
tmp = Rt*C*R
pprint(tmp)

Programm im nachfolgenden Frame ausführen? Dazu:

1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

2. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.

3. Play: Knopf ▶ drücken.

Äquivalente Knotenlasten

siehe equi

Postprocessing

Stabkraft

Nach der Berechnung der gesuchten Knotenverschiebungen und der gesuchten Lagerreaktionen kann man für jeden Stab berechnen:

• die genäherte Verlängerung \(\Delta l = \left(\boldsymbol u_2 - \boldsymbol u_1 \right) \cdot \boldsymbol e\) (siehe rod-lin).

• die Stabkraft. Hierzu gibt es zwei Möglichkeiten:

  1. Verwendung der berechneten Lagerreaktionen und der äußeren Kräfte. Damit berechnen der Stabkräfte z.B. mit Knotenschnitt-Verfahren oder mit Ritterschnitt-Verfahren.

  2. Verwendung Elastizität = Hookesches Gesetz: \(S = EA\tfrac{\Delta l}{l}\)

Spannung

Verzerrung

Zum Vergleich: Klassische Herleitung

Gleichgewicht

\begin{align} \label{eq-rod-12} F_1 &= S \tag{1a} \\ F_2 &= - S \tag{1b} \\ \end{align}

Zum Vergleich 2D

Die \((x,y)\)-Komponenten von \(F_1\) und \(F_2\) abhängig von \(S\) sind:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \end{bmatrix} &= - S \begin{bmatrix} c \\ s \end{bmatrix}\end{split}\\\begin{split}\begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} &= S \begin{bmatrix} c \\ s \end{bmatrix}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

mit den Abkürzungen \((c, s) = \left(\cos\varphi, \sin\varphi\right)\).

\begin{align} \begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \\ F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} = S \begin{bmatrix} - c \\ - s \\ c \\ s \end{bmatrix} \tag{1} \end{align}

Elastizität

Hookesches Gesetz:

\begin{align} \label{eq-rod-2} S = \tfrac{EA}{l} \Delta l \tag{2} \end{align}

Kinematik

\begin{align} \label{eq-rod-3} \Delta l = u_2 - u_1 \tag{3} \end{align}

Zum Vergleich 2D

Wie gezeigt ist in rod-lin, gilt für die genäherte Stabverlängerung:

\begin{align} \Delta l &= \boldsymbol e \cdot \left(\boldsymbol u_2 - \boldsymbol u_1 \right) \\ \notag &= \begin{bmatrix} c & s \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \right\} \notag \\ &= \begin{bmatrix} -c & -s & c & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \\ u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} \tag{3} \end{align}

Lineares System

Eliminieren der 2 Unbekannten \(S\) und \(\Delta l\) aus den 4 Gleichungen (1a), (1b), (2), (3) liefert:

\[\begin{split}\tfrac{EA}{l} \left( u_1 - u_2\right) &= F_1 \\ \tfrac{EA}{l} \left( - u_1 + u_2\right) &= F_2\end{split}\]

In Matrix-Schreibweise:

\begin{align*} \underbrace{ \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} 1 & - 1\\ \mathsf{sym} & 1 \end{bmatrix} }_k \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} \end{align*}

Und dies erweitert auf 2D mit der Passiven Transformation liefert den linearen Zusammenhang zwischen Kräften und Verschiebungen:

\begin{align*} \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} c^2 & cs & -c^2 & -cs \\ & s^2 & -cs & -s^2 \\ & & c^2 & cs \\ \mathsf{sym} & & & s^2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \\ u_{2x} \\ u_{2y} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \\ F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} \end{align*}